§ 47. Другой особый случай ошибки ложного основания состоит в использовании основания, посредством которого может быть доказано не только то положение, какое подлежит доказательству, но и другое — заведомо ложное положение. Будучи ложным, это последнее положение опровергает — посредством reductio ad absurdum — также и доказываемое положение. Например, хотят доказать закон сохранения энергии, опираясь на основание, согласно которому ни при каком изменении не может получиться ни прироста, ни убывания. Но основание это ложно. Согласившись с ним, пришлось бы принять, что понятие прироста и убыли вообще заключает в себе логическое противоречие, т. е. лишено смысла.
Ошибка этого вида называется ошибкой «чрезмерного доказательства». О человеке, впадающем в эту ошибку, говорят:, «кто доказывает слишком много, тот ничего не доказывает».
Обычно источником ошибки чрезмерного доказательства является стремление получить вывод непременно из общих посылок, так как общность эта кажется наиболее внушительной. Но если взятая в столь общем виде посылка оказывается ложной, то ложность её без труда может быть обнаружена ссылкой на противоречащие случаи.
§ 48. В некоторых случаях за ошибку чрезмерного доказательства принимают доказательство, которое на деле этой ошибки не содержит. Таковы доказательства, в результате которых получается обоснование не только тезиса, подлежащего доказательству, но сверх того и некоторого другого тезиса. Например, доказательство теоремы Пифагора, развитое в «Началах» Евклида, доказывает не только то, что квадрат, построенный на гипотенузе, в итоге равняется сумме квадратов, построенных на катетах. Кроме этого положения, в ходе доказательства устанавливается, какую часть общего итога составляет квадрат, построенный на каждом из катетов в отдельности.
Такова первая группа разновидностей ошибки ложного основания. Все ошибки этой группы объединяются одним признаком: во всех доказательствах, где содержатся эти ошибки, основание — заведомо ложное.
§ 49. Вторая группа ошибок в основаниях состоит в использовании такого основания, которое хотя и не является заведомо ложным, однако не может считаться бесспорным и только принимается или выдаётся за бесспорное. Латинское название этой ошибки — «petitio рrіnсіріі», т. е. «предвосхищение основания». Название это показывает, что для подлинного доказательства выдвинутого тезиса требуется другое основание, а не то, которое было предвосхищено в качестве основания, будто бы обосновывающего вывод, но которое на деле его не обосновывает.
Так в начале прошлого века некоторые учёные пытались доказывать, будто такие вещества, как, например, мочевина, не могут быть получены в лаборатории искусственным путём. Ошибка в рассуждениях этих учёных была ошибкой petitio рrіnсіріі: они исходили, как из бесспорного основания, из недоказанного в то время (а впоследствии оказавшегося ложным) положения, будто продукты, вырабатываемые в организмах, не могут быть получены лабораторным способом.
Особый вид ошибки petitio рrіnсіріі образует ошибка, состоящая в том, что утверждение относительно группы предметов, истинное только при условии, если группа эта рассматривается в качестве некоторого целого, выдаётся, без всякой проверки, за основание, истинное относительно каждого из этих предметов в отдельности. Или же, наоборот, относительно группы предметов, рассматриваемой как некоторое целое, без всякой проверки утверждается в качестве истины то, что является истинным лишь относительно каждого из этих предметов в отдельности.
Например, было бы ошибкой, если бы из утверждения «грибы водятся в тенистых местах» мы сделали вывод, будто и гриб шампиньон водится непременно в тенистых местах. Как известно, гриб этот часто попадается и на незатенённых пустырях. Ошибка здесь состоит в том, что утверждение, истинное лишь относительно группы в целом, мы без надлежащей проверку признали истинным также относительно каждого предмета группы.
Обратный пример: одну нитку легко перервать руками. Но было бы ошибкой сделать отсюда вывод, будто сотня ниток, сплетённая в ткань, также легко может быть перервана руками. Ошибка здесь в том, что положение, верное в отношении к единичному предмету группы, принимается за верное также и по отношению к группе в целом.