Так обстоит дело со всяким выражением мысли в языке. Ошибочные доказательства, в которые ошибка вкралась непреднамеренно, незаметно для самого доказывающего, называются паралогизмами. Ошибочные доказательства, которые ведутся с сознанием их ошибочности и в которых нарушение правил доказательства совершается намеренно, так как нарушение это ведёт к заключению, в согласии с которым читателей или слушателей заинтересован сам доказывающий, называются софизмами.
Различие между паралогизмами и софизмами, важное с психологической и моральной точек зрения, не имеет никакого значения для логики, так как логическое содержание ошибок в доказательствах совершенно не зависит от того, каким образом — намеренно или ненамеренно — ошибки эти оказались допущенными в ходе доказательства.
§ 56. Если в рассуждениях, входящих в доказательства выводов достоверности, часто встречается ошибка учетверения терминов, то в рассуждениях, входящих в доказательства выводов вероятности, т. е. индуктивных выводов, часто встречается ошибка, состоящая в пренебрежении к случаям, которые противоречат обобщению.
Во многих случаях, сделав на основе подмеченных фактов или случаев известное обобщение, автор обобщения не склонен принимать во внимание, ни тем более искать случаев, противоречащих сделанному им обобщению, которое часто представляется к тому же ценным или желанным.
Ошибка эта чрезвычайно распространена в мышлении. Нет такого суеверия, нет такого предрассудка, для доказательства которых нельзя было бы привести благоприятных этому суеверию или предрассудку фактов. Но факты эти, а вместе с тем и самые доказательства лишены всякой доказательной силы, так как при этом оставляют без внимания другие многочисленные факты, противоречащие выводу.
Существует рассказ, хорошо иллюстрирующий это положение. Одному путешественнику, посетившему приморский город и осматривавшему тамошний собор, показали длинный список лиц, пожертвовавших по обету подарки и вклады в собор в благодарность богу за своё спасение во время кораблекрушения. Путешественник спросил: а где списки тех, которые также дали обет о таком же пожертвовании, но, несмотря на обет, погибли. Путешественник этот правильно вскрыл основную ошибку индуктивного вывода, допущенную в этом случае: игнорирование фактов, противоречащих обобщению.
Задачи
Определите логический тип приводимых ниже доказательств. Если в этих доказательствах имеются логические ошибки, укажите, какие именно.
1) Теорема. Если в △АВС углы АВС и АСВ равны, то и стороны АС и АВ, противолежащие этим углам, равны.
Рис. 70
Доказательство. Предположим, что стороны АС и АВ не равны. Тогда одна из них, например АВ, будет больше. Отложим на большей стороне АВ, от точки В, отрезок BD = АС и соединим С с D. В △ АВС и △ DCB
BD = AC, ВС есть сторона общая и ∠DВС = ∠АСВ. Следовательно, △ DBС и △ AВС, как имеющие по равному углу, заключённому между равными сторонами, равны между собой. Но DВС есть часть АСВ. Таким образом, выходит, что часть равняется своему целому. Но это невозможно, так как противоречит аксиоме, что целое больше своей части. Из этого следует, что АС и АВ не могут быть неравными. Следовательно АВ = АС.
2) Доказательство существования пустоты:
«... Не заполнено все веществом и не держится тесно
Сплочённым с разных сторон: в вещах пустота существует.
...Вот почему несомненна наличность пустого пространства:
Без пустоты никуда вещам невозможно бы вовсе
Двигаться было; ведь то, что является признаком тела:
Противодействовать и не пускать – препятствием вечным
Было б вещам, и ничто бы тогда не могло продвигаться,
Ибо ничто, отступив, не дало бы начала движенью.
В самом же деле в морях, на земле и в небесных высотах