Например, делается такое утверждение: все хищные животные поддаются дрессировке. Это тезис. В качестве аргументов могут быть приведены многие известные случаи, когда дрессировке успешно подвергались различные хищные животные.
Индуктивное доказательство принимает форму индуктивного умозаключения, проведённого в обратном порядке — от общего правила (служащего тезисом) к частным случаям (служащим аргументами). В обычном индуктивном умозаключении дан ряд частных случаев и из них выводится общее положение. В индуктивном доказательстве дано общее положение (тезис) и для подтверждения его подыскиваются частные случаи (аргументы).
Соответственно самой природе индукции индуктивное доказательство не является вполне достоверным, тезис доказывается с вероятностью (более или менее высокой), но не с полной достоверностью. Для того чтобы доказать тезис с полной достоверностью, надо индуктивное доказательство сочетать с дедуктивным.
§ 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ПРЯМЫЕ И КОСВЕННЫЕ
Помимо рассмотренного выше деления доказательств на дедуктивные и индуктивные, доказательства делятся на прямые и косвенные.
Прямым доказательством называется доказательство, в котором аргументы непосредственно доказывают истинность тезиса. Значит, во всех случаях, когда мы приводим аргументы, которые подтверждают правильность тезиса, мы имеем прямое доказательство.
Всё, что выше говорилось о доказательствах, относится к прямым доказательствам—из аргументов вытекает истинность тезиса по правилам логического умозаключения.
Косвенным доказательством называется доказательство, которое доказывает истинность тезиса ложностью противоречащего тезису суждения. Суждение, противоречащее тезису, называется антитезисом. Поэтому можно сказать, что косвенное доказательство — это доказательство, которое обосновывает истинность тезиса посредством доказывания ложности антитезиса.
Положим, мы не имеем аргументов, которые прямо доказывали бы истинность данного тезиса. Но у нас есть аргументы, доказывающие, что суждение, противоречащее тезису, ложно. Мы это доказываем, а из этого, по закону исключенного третьего, вытекает, что тезис является истинным. Это и есть косвенное доказательство.
Процесс доказывания в косвенном доказательстве имеет следующий вид. Я хочу доказать тезис, что А есть В. Достаточно убедительных аргументов, из которых прямо вытекало бы, что А действительно есть В, у меня нет. Я беру антитезис, т. е. противоречащее тезису суждение А не есть В, предполагаю его истинным и вывожу из него все вытекающие следствия. Эти следствия оказываются противоречащими действительности, ложными, а это доказывает ложность антитезиса, т. е. суждения, что А не есть В. Но если суждение А не есть В ложно, то по закону исключенного третьего истинно противоречащее суждение А есть В, что и требовалось доказать. Это косвенное доказательство. Применяемый в косвенном доказательстве приём — доказательство ложности суждения (антитезиса) посредством выведения из него следствий, оказывающихся ложными,— называется в логике сведением к абсурду (reductio ad absurdum). Такого рода косвенные доказательства применяются в математике, где они обычно называются доказательствами от противного; правильнее было бы сказать «от противоречащего», так как ложность противного суждения не доказывает истинности другого противного суждения, тогда как ложность одного противоречащего суждения с несомненностью доказывает истинность другого противоречащего суждения.
Так, если нужно доказать, что в треугольнике, в котором два угла равны, равны и лежащие против них стороны, доказательство ведется от противного (т. е. противоречащего), принимается за истину антитезис, что эти стороны не равны, а из этого вытекают неверные следствия, противоречащие признанным теоремам геометрии; но если неверно, что эти стороны не равны, значит верно, что они равны, что и требовалось доказать.
Другой формой косвенного доказательства является доказательство путём исключения всех членов разделительного суждения, кроме одного. Это можно изобразить таким образом. У нас есть суждение: А есть или B, или B1 или В2. Такое суждение называется разделительным. В нём одно подлежащее и три сказуемых, но к подлежащему может относиться одно из этих сказуемых. Нам нужно доказать, что А есть В. Если бы мы могли привести аргументы, что А есть В, это было бы прямое доказательство, но у нас их нет. Тогда мы доказываем, что А не есть ни В1, ни В2, а из этого вытекает, что А есть В. Это косвенное доказательство [92].