Действительно, если одно противное суждение А или Е ложно, из этого нельзя сделать вывод относительно того, что другое противное суждение истинно. Если ложно суждение А, это значит, что всем предметам, выраженным понятием подлежащего, неправильно приписан признак, выраженный сказуемым. Но это вовсе не значит, что истинно суждение Е, в котором данный признак отрицается у всех предметов того же класса. Суждение А может быть ложно потому, что всем предметам данного класса приписывается определенный признак, тогда как в действительности этот признак присущ только некоторым предметам этого класса; в этом случае ложным будет и противное суждение, в котором данный признак отрицается у всех предметов класса.
Значит, из ложности одного противного суждения не следует обязательно ни истинности, ни ложности другого противного суждения, последнее может быть как истинным, так и ложным.
Это отношение между противными суждениями можно выразить так: два противных суждения не могут быть оба одновременно истинными, но могут быть оба ложными. Из истинности одного противного суждения вытекает ложность другого противного суждения, но из ложности одного противного суждения не вытекает истинность другого, которое может быть как истинным, так и ложным.
При рассмотрении противных суждений в логическом квадрате возникает следующий вопрос. Если из ложности одного противного суждения не вытекает истинность другого противного суждения и это второе противное суждение может быть как ложным, так и истинным, то остается неясным, когда же это второе суждение будет истинным, а когда ложным. В зависимости от чего это второе суждение будет в одних случаях истинным, а в других ложным? Вопрос этот решается следующим образом.
Если ложность одного противного суждения заключается в том, что в этом суждении предметам класса, выраженного понятием подлежащего, сказуемым ложно приписывается не свойственный им признак или у предметов этого класса ложно отрицается свойственный им признак, то другое противное суждение будет истинным.
Например, «все млекопитающие дышат жабрами» (А) — это ложное суждение и его ложность заключается в том, что мы млекопитающим приписали не свойственный им признак — дыхание жабрами. Поэтому противное суждение «ни одно млекопитающее не дышит жабрами» (Е) будет истинным.
Если ложность одного противного суждения заключается в том, что в нём неправильно приписывается какой-либо признак всем без исключения предметам данного класса, тогда как этот признак свойственен только некоторым из них, то и другое противное суждение будет ложным.
Например, «все горы высоки» — это ложное суждение, и ложность его заключается в том, что высота приписывается всем горам, тогда как этот признак свойственен лишь некоторым из них. Поэтому и другое противное суждение будет ложным: «ни одна гора не высока» — это тоже неверно.
Можно сказать так: если ложность одного противного суждения кроется в качестве (содержании) суждения, выраженном связкой (есть, не есть), то другое противное суждение будет истинным; если же ложность одного противного суждения кроется в количестве (объеме) суждения (все, ни одно), второе противное суждение также будет ложным.
Мы видим, что отношения между противными суждениями основываются на законе противоречия, согласно которому две противоречивые мысли не могут быть истинными, одна из них обязательно будет ложной.
2. Отношение подчинения. Отношение подчинения в логическом квадрате существует между суждениями I и А, равно как между О и Е. Общеутвердительное суждение А является подчиняющим в отношении частноутвердительного I, которое является подчиненным в отношении А. Точно так же общеотрицательное суждение Е — подчиняющее, частноотрицательное О — подчиненное.
Если подчиняющее суждение (А или Е) истинно, то и подчиненное ему суждение (соответственно I и О) будет истинным.
Если верно, что «все S суть Р», то верно и то, что «некоторые S суть Р». Если верно, что «ни одно S не есть Р», верно и то, что «некоторые S не суть Р». Например, «все металлы проводят электрический ток» — это верно, значит верно, что «некоторые металлы (например, железо, платина и др.) проводят электрический ток». То же самое: «ни одно растение не может существовать без воздуха» (Е) — это верно, значит верно и то, что «некоторые растения (цветковые, голосемянные и др.) не могут существовать без воздуха» (О).