Таким образом, отношения противоречащих суждений основаны на законе исключенного третьего, согласно которому если в одной мысли содержится отрицание того, что утверждается в другой мысли, то одна мысль всегда будет истинной, а другая ложной (tertium non datur — третьего не дано).
4. Отношение подпротивности. Отношение подпротивности (субконтрарности) существует между суждениями, расположенными на нижней стороне логического квадрата—I и О, т. е. между частноутвердительным и частноотрицательным суждением. Установить зависимость ложности и истинности одного подпротивного суждения от истинности и ложности другого подпротивного суждения можно следующим образом.
Если I (частноутвердительное суждение) истинно, то противоречащее ему суждение Е (общеотрицательное суждение) ложно. Из ложности же Е, как мы знаем, не вытекает ложность О, которое может быть как истинным, так и ложным. То же самое, если истинно О (частноотрицательное суждение), то ложно противоречащее ему А (общеутвердительное суждение), а из ложности А не вытекает ложность подчиненного ему I. Отсюда правило: из истинности одного подпротивного суждения не вытекает ложность другого подпротивного суждения, которое может быть как истинным, так и ложным; оба подпротивные суждения могут быть истинными.
Например, «некоторые растения имеют стебель и листья» — это правильное частноутвердительное суждение. «Некоторые растения не имеют стебля и листьев»— это также правильное частноотрицательное суждение. Еще пример: «некоторые люди говорят на иностранных языках» — это суждение частноутвердительное; оно правильно. «Некоторые люди не говорят на иностранных языках» — это суждение частноотрицательное; оно также будет правильным. Значит, истинность одного подпротивного суждения допускает истинность другого подпротивного суждения. Два подпротивных суждения, т. е. частноутвердительное и частноотрицательное, могут быть оба истинными; они вполне совместимы, если они относятся к разным частям объема одного и того же понятия, являющегося в них подлежащим.
Если I ложно, каким будет О? Если I ложно, то противоречащее ему Е будет истинным, а если истинно Е, то истинным будет подчиненное ему О. Если О ложно, истинным будет противоречащее ему А, а если истинно А, то истинно и подчиненное ему I.
Частноутвердительное суждение «некоторые живые существа могут жить без кислорода» — ложно. Если оно ложно, то, как мы знаем, истинно противоречащее ему общеотрицательное суждение Е «ни одно живое существо не может жить без кислорода», равно как истинно и подчиненное ему суждение О «некоторые живые существа не могут жить без кислорода». Таким образом, если ложно I, истинно О, и если ложно О, истинно I.
Следовательно, если одно подпротивное суждение ложно, то другое подпротивное суждение истинно, оба подпротивных суждения не могут быть ложными, одно из них обязательно истинно.
Повторить все изложенные правила для их лучшего запоминания можно таким образом: следует брать каждое суждение в логическом квадрате и выяснять, что вытекает для всех других суждений из его истинности и его ложности. Тогда, идя по движению часовой стрелки, получим следующее:
Если А истинно, то Е ложно, О ложно, I истинно.
Если А ложно, то Е неопределенно (может быть истинно, может быть ложно), О истинно, I неопределенно.
Если Е истинно, то О истинно, I ложно, А ложно.
Если Е ложно, то О неопределенно, I истинно, А неопределенно.
Если О истинно, то I неопределенно, А ложно, Е неопределенно.
Если О ложно, то I истинно, А истинно, Е ложно.
Если I истинно, то А неопределенно, Е ложно, О неопределенно.
Если I ложно, то А ложно, Е истинно, О истинно.