Имена признаков — свойств или отношений — называются предикаторами. В предложении они обычно выполняют роль сказуемого (например, «быть синим», «бегать», «дарить», «любить» и т. д.). Число имен предметов, к которым относится предикатор, называется его местностью. Предикаторы, выражающие свойства, присущие отдельным предметам, называются одноместными (например, «небо синее»), Предикаторы, выражающие отношения между двумя и более предметами, называются многоместными. Например, предикатор «любить» относится к двухместным («Мария любит Петра»), а предикатор «дарить» — к трехместным («Отец дарит книгу сыну»).
Предложения — это имена для выражений языка, в которых нечто утверждается или отрицается. По своему логическому значению они выражают истину либо ложь.
Алфавит языка логики предикатов включает следующие виды знаков (символов):
1) а, b, с, ... — символы для единичных (собственных или описательных) имен предметов; их называют предметными постоянными, или константами;
2) х, у, z, ... — символы общих имен предметов, принимающие значения в той или другой области; их называют предметными переменными;
3) Р1, Q1, R1, ... — символы для предикатов, индексы над которыми выражают их местность; их называют предикатными переменными;
4) р, q, r, ... — символы для высказываний, которые называют пропозициональными переменными (от латинского propositio — «высказывание»);
5) ∀, Ǝ — символы для количественной характеристики высказываний; их называют кванторами: ∀ — квантор общности; он символизирует выражения — все, каждый, всякий, всегда и т. п.; Ǝ — квантор существования; он символизирует выражения — некоторый, иногда, бывает, встречается, существует и т.п.;
6) логические связки:
∧— конъюнкция (связка «и»);
∨— дизъюнкция (связка «или»);
→ — импликация (связка «если..., то...»);
≡ — эквиваленция, или двойная импликация (связка «если, и только если..., то...»);
˥ — отрицание («неверно, что...»).
Технические знаки языка: (,) — левая и правая скобки.
Других знаков данный алфавит не включает. Допустимые, т. е. имеющие смысл в языке логики предикатов выражения называются правильно построенными формулами — ППФ. Понятие ППФ вводится следующими определениями:
1. Всякая пропозициональная переменная — р, q, r,... есть ППФ.
2. Всякая предикатная переменная, взятая с последовательностью предметных переменных или констант, число которых соответствует ее местности, является ППФ: А1 (х), А2 (х, у), А3 (х, у, z), Аn (х, у, …, n), где А1, А2, А3, ..., Аn — знаки метаязыка для предикатов.
3. Для всякой формулы с предметными переменными, в которой любая из переменных связывается квантором, выражения ⊃хА (х) и Ǝ хА (х) также будут ППФ.
4. Если А и В — формулы (А и В — знаки метаязыка для выражения схем формул), то выражения:
А ∧В,
А ∨В,
А → В,
А ≡ В,
˥А, ˥В
также являются формулами.
5. Любые иные выражения, помимо предусмотренных в п. 1—4, не являются ППФ данного языка.
Язык логики предикатов может быть использован в дальнейшем изложении для анализа отдельных фрагментов естественного языка.
1. Что такое язык? Приведите определение.
2. Какие языки относятся к естественным и какие к искусственным?
3. Что представляет собой язык логики предикатов? Какие знаки (символы) включает алфавит этого языка?
§ 5. История логики (краткий очерк)
Логика, изучающая познающее мышление и применяемая как средство познания, возникла и развивалась как философская наука. Она сформировалась более двух тысяч лет назад, в IV в. до н. э. Ее основателем является древнегреческий философ Аристотель (384—322 гг. до н. э.). В своих логических трудах, получивших общее название «Органон» (греч. «орудие, инструмент познания»), Аристотель сформулировал основные законы мышления: тождества, противоречия и исключенного третьего, описал важнейшие логические операции, разработал теорию понятия и суждения, обстоятельно исследовал дедуктивное (силлогистическое) умозаключение. Аристотелевское учение о силлогизме составило основу одного из направлений современной математической логики — логики предикатов.