Независимо от размера выборки в вашем эксперименте всегда можно задать процент ложноположительного результата. Он не обязательно должен быть равен 5 %. Можно выбрать 1 % или даже 0,1 %. Но, ставя такой низкий процент ложноположительного результата для своей выборки, вы увеличиваете частоту ложноположительных ошибок, и тогда вам, возможно, не удастся найти реальный результат. Тут-то речь и заходит о размере выборки.
Определив процент ложноположительных результатов, вы должны выяснить, какого размера вам потребуется выборка, чтобы с достаточно высокой вероятностью найти истинный результат. Эта величина называется мощностью эксперимента и обычно выбирается так, чтобы вероятность обнаружения составляла 80–90 %, а частота ложноположительной ошибки, соответственно, 10–20 % (этот процент также обозначается греческой буквой β – бета, которая равняется 100 минус мощность). Исследователи говорят, что их эксперимент обладает мощностью 80 %.
Давайте рассмотрим один пример, чтобы проиллюстрировать, как все эти модели работают вместе. Предположим, компания хочет доказать, что их новое приложение для засыпания работает. Предварительное исследование показало, что в половине случаев человек засыпает в течение 10 минут. Разработчики думают, что можно улучшить этот показатель с помощью приложения, помогая большему количеству людей заснуть меньше чем за 10 минут.
Разработчики планируют исследование в лаборатории сна, чтобы проверить свою теорию. Тестовая группа будет использовать приложение, а контрольная будет засыпать без него (у настоящего исследования план будет посложнее, но мы объясняем статистические модели).
Статистическая база большинства экспериментов (включая и этот) начинается с гипотезы о том, что между группами нет разницы, – это называется нулевой гипотезой.
Если разработчики соберут достаточно доказательств для опровержения этой гипотезы, они сделают вывод, что их приложение действительно помогает людям уснуть быстрее.
То есть разработчики приложения наблюдают за обеими группами, а затем рассчитывают процент людей, засыпающих в течение 10 минут в каждой. Если они найдут достаточно большую разницу между этими двумя результатами, они сделают вывод, что результаты несовместимы с нулевой гипотезой, а значит, приложение, вероятно, действительно работает.
Разработчикам также нужно детально изложить альтернативную гипотезу, которая описывает наименьшие значимые показатели, которые, как им кажется, возникнут между двумя группами: например, на 15 % больше людей уснет в течение 10 минут. Это реальный результат, который они хотят подтвердить своим исследованием и имеют 80 % шанс обнаружить (что соответствует ложноотрицательному результату в 20 % случаев).
Эта альтернативная гипотеза необходима для определения размера выборки. Чем меньше разница в альтернативной гипотезе, тем больше людей потребуется для ее обнаружения. Для описанного плана эксперимента размер выборки составляет 268 участников.
Все эти модели наглядно представлены на рисунке.
Для начала посмотрим на кривые нормального распределения (по центральной предельной теореме можно предположить, что разницы будут приблизительно нормально распределены). Кривая слева показывает результаты меньше нулевой гипотезы: между двумя группами нет существенной разницы. Вот почему эта левая кривая центрирована на 0 %. Даже в этом случае разница время от времени будет случайно составлять больше или меньше нуля, но чем больше разница, тем менее она вероятна. То есть из-за базовой изменчивости, даже если приложение и не обладает реальным эффектом, разница все равно будет обнаружена между двумя группами, потому что люди засыпают за случайные периоды времени.
Другая кривая нормального распределения (справа) представляет собой альтернативную гипотезу, на правдивость которой надеются разработчики: количество людей, которые засыпают в течение 10 минут при использовании приложения, увеличится на 15 % по сравнению с людьми, которые не пользуются им. Опять же, даже если эта гипотеза верна, из-за изменчивости разница иногда все равно будет меньше 15 %, а иногда больше 15 %. Вот почему правая кривая центрирована на 15 %.