Один из оппонентов приводит ряд возражений против достигнутых Больцманом результатов, в основном повторяющих аргументы Лошмидта. В своем ответе Больцман вновь указывает на то, что убывание H-функции является значительно более вероятным, чем ее возрастание. Он выдвигает теорию флуктуации, согласно которой H-функция, достигнув минимума, может колебаться — флуктуировать — относительно своего минимального значения, причем большие отклонения от Hmin будут встречаться, очевидно, значительно реже, чем малые. Для подтверждения своих слов Больцман конструирует простой и убедительный пример, показывающий то, что при таком поведении H-функции становится гораздо более вероятным ее уменьшение, чем возрастание. Впрочем, предоставим слово самому Больцману.
«Теперь рассмотрим некоторую ординату Н1 > Hmin (рис. 10). Возможны два случая. H1 может быть весьма близко к вершине возвышенности, так что H убывает, двигаемся ли мы в положительном или отрицательном направлении вдоль оси, представляющей время. Второй случай — Н1 лежит на части кривой, поднимающейся на возвышенность или спускающейся с нее. Тогда ординаты по одну сторону Н1 будут больше, по другую — меньше, чем Н1. Но так как более высокие возвышенности чрезвычайно маловероятны, первый случай более вероятен, а если мы выбираем ординату данного значения Н1, руководствуясь случаем, то не обязательно, но весьма вероятно, окажется, что ордината будет убывать при движении в обоих направлениях».
Принципиально иной характер имело другое возражение, основанное на доказанной в 1890 г. французским математиком А. Пуанкаре теореме о том, что механическая система, состоящая из конечного числа точек, спустя достаточно длительное время должна будет еще раз подойти сколь угодно близко к своему первоначальному состоянию (так называемая теорема возврата Пуанкаре). Следовательно, с течением времени обязательно должно повториться любое начальное состояние газа, что означало бы возрастание на определенном промежутке времени H-функции. Поскольку это противоречит достигнутому Больцманом результату о монотонном убывании H-функции, обоснование второго закона термодинамики с помощью представлений молекулярно-кинетической теории невозможно.
Убедительно отвечает на это возражение Больцман. Он рассчитывает время возвращения молекулярной системы в начальное состояние, говоря с математиками на их же математическом языке. Поскольку в газе объемом 1 см3 содержится примерно 1019 молекул (число Лошмидта), то среднее расстояние между молекулами примерно равно 10-6 см. Так как скорости молекул в среднем равны 500 м/с, то каждая молекула в течение 1 с будет испытывать около 109 столкновений. Предположив, что возвращение системы в исходное состояние осуществляется тогда, когда различие в положении молекул менее 10-7 см, а в скорости — 1 м/с, Больцман рассчитывает цикл возврата системы в исходное положение. Это время возврата оказывается примерно равным 300 годам. Далее он рассчитывает при тех же условиях время прихода системы в равновесное состояние, оно равно всего лишь 10-8 с. Таким образом, показывает он, хотя и вероятность возврата системы в исходное состояние отлична от нуля, но она настолько мала по сравнению с временем перехода системы в равновесное состояние, что «весьма маловероятно, чтобы прошлое вновь возвратилось». Парадокс периодичности, пишет ученый, вовсе не опровергает теории газов, он сам вытекает из ее существа.
Необходимо все же отметить, что эти серьезные контраргументы не были вполне поняты противниками Больцмана. Противоречие между обратимостью механических процессов и необратимостью термодинамических еще продолжало смущать ученых. Больцман уверен в своей правоте. Уступая настояниям своих друзей, он в течение 1896-1898 гг. собирает свои исследования воедино и издает двухтомный курс «Лекций по теории газов». В них он уточняет и совершенствует свое доказательство H-теоремы. Он выступает за расширение статистических представлений, за применение их к твердым и жидким телам: