Пусть в начальный момент времени N молекул газа равномерно заполняют весь предоставленный им сосуд. Вычислим, за какое время они в результате своего движения могут собраться лишь в левой половине сосуда с вероятностью, равной 0,9. Естественно, что вероятность того, что при одном измерении одна из молекул окажется в левой половине, равна 1/2, две молекулы — (1/2)2, а вероятность нахождения N молекул в левой половине при одном измерении равна (1/2)N. Вероятность того, что при одном измерении в левой половине сосуда не окажется N молекул, равна, очевидно, 1 — (1/2)N, а при n измерениях — [1 - (1/2)N]n. Тогда вероятность того, что после n измерений N молекул окажется в левой половине сосуда, равна
Так как w по условию равно 0,9, то
а так как число молекул N велико, то
Если измерения проводить через каждые Δt с, то N молекул с вероятностью 0,9 окажутся в левой половине сосуда через время τ = nΔt.
Пусть Δt = 1 с, тогда τ = 2N. Видно, что время возвращения чрезвычайно быстро растет с увеличением числа частиц, участвующих в процессе. Например, если N = 5, то τ = 32 с (процесс явно обратим в силу своей наблюдаемости), если N = 100, τ = 1032 с, а при реальных значениях N = 1019 (число Лошмидта), время сбора всех частиц в левой половине сосуда с указанной вероятностью велико, оно равно (210)19. Очевидно, что такой процесс мы никогда не сможем наблюдать, он представляется нам существенно необратимым. Причину необратимости тепловых процессов Смолуховский видит именно в этом: «Это свойственно только людям, и то только потому, что они сами случайно имеют размеры, много больше, чем размеры молекул. Если бы люди имели размеры порядка микромира и при этом обладали еще разумом, то они не смогли бы открыть второе начало». Понятие необратимости перестало висеть дамокловым мечом над физическими исследованиями, наоборот, оно приобрело благодаря этим глубоким исследованиям новое звучание, новые краски, давшие этому понятию неожиданную физическую прелесть.
М. Смолуховский утверждает, что предсказываемые статистической теорией флуктуации плотности должны быть связаны с конкретными физическими явлениями. Он анализирует опыты шведского ученого Т. Сведберга, который экспериментально определил относительную частоту появления в поле зрения сильного микроскопа числа броуновских частиц, отличающегося от равновесного. Результаты совпали с предсказаниями теории. Вскоре Смолуховский объясняет и другое физическое явление, столь часто наблюдаемое всеми нами, а именно голубой цвет неба, который вызван рассеиванием света на флуктуациях плотности в верхних слоях атмосферы (вспомните об отклонениях числа частиц от теоретических значений в верхних слоях в исследованиях Перрена).
Статистика убедительно доказывает свою правоту. Случайность объективно присуща природе, она закономерна. Закономерно также появление новых форм жизни на Земле (эволюция) в результате случайных изменений (мутаций). Разрешается великий спор о причинах развития, длившийся еще с древнегреческих времен.
Успехи теории флуктуации возрождают интерес к космологической теории Больцмана, выдвинутой им в противовес теории «тепловой смерти» Вселенной. Эти споры не утихают и до сих пор, что само по себе доказывает плодотворность выдвинутой Больцманом идеи. И хотя довольно скоро обнаружились слабые места развиваемой им теории, заключающиеся в том, что вероятность такой гигантской флуктуации, как нахождение видимой части Вселенной в неравновесном состоянии, ничтожно мала, с некоторыми дополнениями теория Больцмана обсуждается и сейчас. Выдвинуты и другие точки зрения, основанные на учете гравитационного взаимодействия между телами, но также опровергающие теорию «тепловой смерти».