Выражение «4-Rem», используемое в отношении определённого числа, означает «остаток, получающийся от деления этого числа на 4»; аналогично в случае выражений «7-Rem» и «19-Rem» [17].
Нам потребуются три числа, два из которых, коль скоро нужный год указан,известны на память; третье подлежит вычислению. Назовём эти числа a, h, k.
Наше Правило удобно разделить на три следующие части.
(1) Называем нужный год и затем вспоминаем по памяти величины a и h, к нему относящиеся. Для старого стиля эти величины всегда равны 15 и 6. Для нового стиля они даны в следующей таблице:
Мысленно представляем себе эту таблицу и проговариваем количества сотен, пока не доходим до нужного; затем называем значения a и h в каждом столбце.
{Так, если нужен 1582 г. (что, для нашей настоящей цели, будет по ст. ст., поскольку н. ст. не вступает ранее октября [18]), то говорим: «1582; ст. ст.; a и h суть 15 и 6».
Если нужен 1583 г. н. ст., говорим: «1583; н. ст.; 15; a и h суть 8 и 2».
Если дата — это 1583 г. ст. ст., говорим: «1583; ст. ст.; a и h суть 15 и 6».
Если дата — это 1948 г. н. ст., говорим: «1948; н. ст.; 15, 16, 17, 18, 19; a и h суть 6 и 5».}
(2) Опять же, называем нужный год и находим его 4-Rem и 7-Rem; затем берём «4-Rem плюс дважды 7-Rem», удваиваем, прибавляем h; 7-Rem от этого результата будет k.
{Так, если нужен 1582 г., то говорим: «1582; 4-Rem; 82; 2; 7-Rem; 15, 18, 42; 0; 2 и 0 будет 2; 4 и 6 будет 10; k равно 3».
Если нужен 1583 г. н. ст., говорим: «1583; 4-Rem; 83; 3; 7-Rem; 15, 18, 43; 1; 3 и 2 будет 5; 10 и 2 будет 12; k равно 5». Если это 1583 г. ст. ст., говорим: «1583; 4-Rem; 83; 3; 7-Rem; 15, 18, 43; 1; 3 и 2 будет 5; 10 и 6 будет 16; k равно 2».
Если нужен 1948 г. н. ст., говорим: «1948; 4-Rem; 48; 0; 7-Rem; 19, 54, 58; 2; 0 и 4 будет 4; 8 и 5 будет 13; k равно 6».
Если нужен 1948 г. ст. ст.. говорим: «1948; 4-Rem; 48; 0; 7-Rem; 19, 54, 58; 2; 0 и 4 будет 4; 8 и 6 будет 14; k равно 0».}
(3) Называем a и k; называем нужный год; находим его 19-Rem; умножаем на 11; прибавляем a; находим дефект результата от наименьшего кратного 30, которое его содержит; находим наибольшее кратное 7, содержащееся в дефекте и прибавляем k. Если результат не дотягивает до дефекта, то либо вычитаем 2 и называем апрель, либо (если этого нельзя сделать) прибавляем 29 и называем март. Если этот результат дотягивает до дефекта, то либо вычитаем 9 и называем апрель, либо (если этого сделать нельзя) прибавляем 22 и называем март.
{Так, если нужен 1582 г., и если известно, что a и k суть 15 и 3, то говорим: «a и k суть 15 и 3; 1582; 7 и минус 1 будет 6; 3 и 2 будет 5; 55 и 15 будет 65, 70; 10 сверху; дефект равен 20; 14 и 3 будет 17, что не дотягивает; вычитаем 2; 15 апреля».
Если нужен 1583 г. н. ст., и если известно, что a и k суть 8 и 5, говорим: «a и k суть 8 и 5; 1583; 7 и минус 1 будет 6; 3 и 3 будет 6; 66 и 8 будет 74; 14 сверху; дефект равен 16; 14 и 5 будет 19, что дотягивает; вычитаем 9; 10 апреля».
Если нужен 1583 г. ст. ст., и если известно, что a и k суть 15 и 2, говорим: «a и k суть 15 и 2; 1583; 7 и минус 1 будет 6; 3 и 3 будет 6; 66 и 15 будет 76, 81; дефект равен 9; 7 и 2 будет 9, что дотягивает; прибавляем 22; 31 марта».
Если нужен 1948 г. н. ст., и если известно, что a и k суть 6 и 6, говорим: «a и k суть 6 и 6; 1848; 9 и минус 5 будет 4; 2 и 8 будет 10; 110 и 6 будет 116; дефект равен 4; 0 и 6 будет 6, что дотягивает; прибавляем 22; 28 марта».
Если нужен 1948 г. ст. ст., и если известно, что a и k суть 15 и 0, говорим: «a и k суть 15 и 0; 1948; 9 и минус 5 будет 4; 2 и 8 будет 10; 110 и 15 будет 120, 125; 5 сверху; дефект равен 25; 21 и 0 будет 21, что не дотягивает; вычитаем 2; 19 апреля».} [19]
4. В облегчение запоминания
(1)
Запомнить нужный год, пока считаем согласно нашему Правилу. Если вы уверенно образуете мнемонические словечки, то найдёте, что это — весьма полезный способ. В противном случае нужный год вам лучше будет записать, поскольку для душевного спокойствия окажется сущим испытанием обнаружить, что, пока вы сосредоточенно выясняли дату Пасхи, тот год, для которого вы её высчитывали, выпал из вашей памяти!
{Годы, выбранные для примеров в следующем разделе, удобно запомнить посредством следующих слов: 853 «kilt», 1654 «box-leaf», 1881 «chokeboy» [20].}
(2)
Запомнить таблицу значений a и h.Первые шесть колонок — наиболее часто используемые. В отношении их заметим, что значения для a суть «две восьмёрки, две семёрки, две шестёрки» и что в первых трёх колонках a и h в сумме дают 10, а в следующих трёх 11.
Для последних четырёх колонок значения a и h даются в третьей и четвёртой строках следующей мнемонической строфы:
Значения для текущего столетия, то есть 7 и 4, лучше будет накрепко отложить в памяти отдельной статьёй.
Запомнить значение k <до той минуты>, пока оно не понадобится. Это легко проделать с помощью руки. Для «0» держим ладонь раскрытой, для «1» сгибаем указательный палец и кладём на него большой, аналогичным образом для «2», «3» и «4»; для «5» сгибаем большой палец, а остальные кладём на него; для «6» сжимаем кулак, большой палец при этом отставив.
(3)
Если в процессе расчёта по второй части нашего Правила окажется, что «4-Rem плюс дважды 7-Rem» кратно 7, то k станет равным h; тогда сразу переходим к третьей части.
{Так, если нужен 1731 г. н. ст., то говорим: «15, 16, 17, a и h суть 7 и 3; 1731; 8 и минус 6 будет 2; 22 и 7 будет 29; дефект равен 1; 0 и 3 будет 3, что дотягивает; прибавляем 22; 25 марта».} [22]
(4)
Есть одна дата (и только одна, насколько мне известно), в отношении которой данное Правило не срабатывает. В 1954 году по новому стилю Пасха приходится на 18 апреля; настоящее же Правило даёт 25-е. Совершенно не могу объяснить этого весьма любопытного отклонения [23].
5. Примеры для образца
(1)
Год 853.
«Старый стиль; a и h суть 15 и 6; 4-Rem; 53, 5, 13; 1; 7-Rem; 853; 8, 5, 13; 6; 1 и 12 будет 13; 26 и 6 будет 32; k равно 4.
a и k суть 15 и 4; 853; 4 и 5 будет 9; 4 и 13 будет 17; 187 и 15 будет 197, 202; дефект равен 8; 7 и 4 будет 11, что дотягивает; вычитаем 9; 2 апреля».
(2)
Год 1654 (н. ст.)
«15, 16; a и h суть 8 и 2; 4-Rem; 54, 5, 14; 2; 7-Rem; 1654; 16, 25, 44; 2; 2 и 4 будет 6; 12 и 2 будет 14; k равно 0.
a и h суть 8 и 0; 1654; 8 и 5 будет 13; 6 и минус 5 будет 1; 11 и 8 будет 19; дефект равен 11; 7 и 0 будет 7, что не дотягивает; вычитаем 2; 5 апреля».
(3)
Год 1654 (ст. ст.)
«Старый стиль; a и h суть 15 и 6; 4-Rem; 54, 5, 14; 2; 7-Rem; 1654; 16, 25, 44; 2; 2 и 4 будет 6; 12 и 6 будет 18; k равно 4.
a и k суть 15 и 4; 1654; 8 и 5 будет 13; 6 и минус 5 будет 1; 11 и 15 будет 26; дефект равен 4; 0 и 4 будет 4, что дотягивает; прибавляем 22; 26 марта».
18
Датой первого дня григорианского календаря в странах, которые ввели у себя новый календарный стиль раньше других (Италия, Испания, Португалия, Польша и Франция) стало 15 октября 1582 года (для прочих стран см.
19
Что получение календарной даты такого «загадочно»-подвижного праздника, как Пасха, путём изложенных в вышеперечисленных пунктах простых выкладок не есть фокус и не содержит ничего надуманного, можно видеть уже из цитированного отрывка книги Роуза Болла, словесно излагающего исходные формулы Гаусса. Например, Роуз Болл тоже начинается с предварительного нахождения остатков от деления нужного года на 4, на 7 и на 19. Читатель получит вполне наглядное видение всей задачи, «стоит только» (как указывает и сам Уильям Роуз Болл в предисловии к первой, арифметической, главе своей книги) «перевести все операции на строгий математический язык». Проделаем же здесь эту процедуру: приведём формулы Гаусса к Доджсонову виду. Но сначала ещё раз разъясним их физический смысл. Как постановил в 325-м году Никейский собор, первый день Пасхи (его дата и обозначается через
Итак, число
или, если
Входящие в эти формулы величины таковы:
Таковы формулы Гаусса (за опущенными подробностями мы отсылаем читателя к статье базельского профессора Г. Кинкелина 1870-го года, тогда же перепечатанной по-русски в «Математическом сборнике Московского математического общества», т. V, с. 73—92 — перевёл и дополнил Н. Сонин;
Рассмотрим выражение, раскрывающее величину
где ∆ есть тот дефект числа 11
Подставляя преобразованные таким образом величины
Отметив также, что |(2
либо, аналогично,
Это есть Доджсонов вид формул Гаусса. В таком виде, однако, они пригодны лишь для случая, когда, как указывает Доджсон,
либо
20
Как тут поступать, Доджсон поясняет в небольшой статье «Мнемоническая техника», которую мы здесь и приведём по книге Доджсона Коллингвуда «Жизнь и письма Льюиса Кэрролла».
«Моя мнемоническая техника есть видоизменение методики Грея; но в то время как тот для представления цифр использует как согласные, так и гласные, и вынужден удовлетвориться слоговой белибердой в выражении даты и всякого иного нужного числа, я использую одни согласные, а гласными лишь разбавляю их сколько понадобиться; таким образом, мне всегда удаётся выстроить настоящее, существующее слово для всего, что ни требуется выразить.
Принципы, на основании которых были отобраны двадцать согласных, таковы.
1:<отобраны> «b» и «c», как первые две согласные алфавита.
2: «d» из «duo» <‘два’
3: «t» из «tres» <‘три’
4: «f» из «four» <‘четыре’
5: «l» и «v», поскольку «l» и «v» суть римские обозначения пятидесяти и пяти.
6: «s» и «x» из «six» <‘шесть’
7: «p» и «m» из «septem» <‘семь’
8: «h» из «huit» <‘восемь’
9: «n» из «nine» <‘девять’
0: «z» и «r» из «zero» <‘ноль’
Теперь у нас имеется ещё один согласный, ожидающий своей цифры, а именно «j», и одна цифра, ожидающего своего согласного, а именно «3»; вывод очевиден.
Результат представим в виде таблицы:
21
Перевод этой мнемонической строфы таков: «Спишите эту песенку себе! Столь же нехорошо оставить в живых блоху, как и ограбить пчелу». Согласные третьей строки английского текста в соответствии со сказанным в предыдущем примечании последовательно подсказывают цифры 6, 5, 4, 5 — значения величины
22
Считаем нужным напомнить нашему читателю следующее. В данной работе выражение «Пасха по старому стилю» соответствует нашей православной пасхе (а до 1582 года повсеместно также и католической), и для неё мы получаем по формулам Гаусса — Доджсона действительно даты
23
Тут какая-то странность. Из книги Роуза Болла Кэрроллу должно было быть известно хотя бы о ещё одном исключении — это 1981 год, дата Пасхи в котором не вполне соответствует расчётам способом Гаусса — Доджсона. На деле исключений больше, но и они подчиняются особому правилу. Чтобы пояснить читателю, в чём тут дело, мы должны разобрать природу «нового стиля» в отношении католической Пасхи в данной работе.
В то время как старый, юлианский, и новый, григорианский, календари предназначены для установления движения по семи дням недели определённых
Когда труды математиков увенчались успехом, эту реформу, то есть переход к пасхалии нового стиля, оказалось возможным осуществить на практике изящнейшим способом — через введение в юлианскую пасхалию четырёх поправок: двух солнечных, одной лунной и одной чисто математической. Две солнечные поправки общеизвестны: это изъятие,
Для того, чтобы разъяснить последнюю интересующую нас здесь поправку, коснёмся структуры реформированного лунного календаря. Реформаторы выстроили
Необходимость этих исключений математически видна из того, что величина
в этих двух случаях равную 1, а в прочих, как и в юлианском календаре, 0.
С учётом этой поправки формулы Гаусса для расчёта католической Пасхи по григорианскому календарю принимают вид
где:
Отсюда следует сложносоставной характер тех двух исключений, которые, как указывает Роуз Болл, должны учитываться при расчёте Пасхи по формулам без поправки. В самом деле, ошибка возникает не всякий раз, когда