4×100 + 2×10 + 5 = 425.
А если вспомнить, что 100 равно десяти в квадрате, десять равно десяти в первой степени и, наконец, единица равна десяти в нулевой степени (ведь всякое число в нулевой степени равно единице), то число 425 может быть записано и так:
4×102 + 2×101 + 5×100 = 425.
Точно так же записываются числа в двоичной системе, только место десятков здесь занимают двойки в тех же степенях. Так, число, которое в десятичной системе читается как десять, в двоичной читается как два. Ведь в этой системе
10 = 1×21 + 0×20, то есть двум.
А число 110 в десятичной системе не что иное, как 6 в двоичной системе:
110 = 1×22 + 1×21 + 0×20, то есть шести.
Ну, а теперь вы и сами разберётесь в разночтениях Магистра и Единички.
— Забавная система, — сказал Сева.
— Не только забавная, но и полезная. Ты ведь уже знаешь, что двоичная система принята в большинстве быстродействующих счётных машин.
— Это и я знаю, — обрадовался Нулик. — Нуль означает «нет», а единица — «да»…
Впрочем, президент не стал вдаваться в подробности. Он решил записать число 29 в двоичной системе и добился-таки своего, написал: 11 101.
В самом деле: 11 101 = 1×24 + 1×23 + 1×22 + 0×21 + 1×20, а это в сумме даёт 29.
Ребята наперебой стали переводить числа из одной системы в другую. Похоже, этому не было бы конца, если бы Олег не вернул чересчур увлекающихся клубменов к их основной деятельности.
— Оказывается, — сказал он, — Магистр не совсем безнадёжен. Он ещё не забыл признака делимости чисел на 11. Но и тот запомнил не до конца. Он отделил цифры, стоящие в числе на нечётных местах, от цифр, стоящих на чётных. При этом суммы их оказались разными. Из этого Магистр заключил, что число на 11 не делится. А ему надо было вычислить разность между этими двумя суммами. Ведь если эта разность делится на 11, то и всё число непременно тоже разделится на 11.
— Проверим, — сказал Сева по примеру Нулика. — Число, которое Магистр прочитал на камне, — 6 111 116. Сумма цифр на нечётных местах 6 + 1 +1 + 6 равна 14, а сумма цифр на чётных местах 1 + 1 + 1 равна трём. Разность между 14 и 3 равна 11. Ну, а уж 11 на 11 обязательно разделится. Стало быть, и всё число на 11 делится. 6 111 116 : 11 = 555 556.
Заливисто залаял Пончик.
— Шесть часов, — глубокомысленно заметил Нулик. — Он всегда лает в это время.
— Не собака, а хронометр! — сказал Сева, взглянув на часы. — Пора возвращаться…
Ребята быстро прибрали лужайку (не оставлять же после себя мусор!), и мы двинулись к станции.
По дороге нам предстояло обсудить ещё один каверзный вопрос, который был задан Магистру при входе в пещеру: каковы наибольшее и наименьшее десятизначные числа, состоящие из всех 10 цифр?
— На этот вопрос отвечу я, — сказал президент.
Желание понятное: ведь камнем преткновения для Магистра на этот раз был нуль. Определяя наименьшее число, незадачливый математик подставлял нуль то в начало числа, то в конец, и всё без толку. Нулик же поставил нуль тотчас же после единицы и получил искомое: 1 023 456 789 — один миллиард двадцать три миллиона четыреста пятьдесят шесть тысяч семьсот восемьдесят девять. Лихо!
— Могу не только наименьшее, но и наибольшее написать! — расхвастался президент. — Вот, пожалуйста: 9 876 543 210…
— Стоит ли? — возразил Олег. — Ведь это число и сам Магистр записал правильно. Лучше уж подсчитай, сколько вообще можно составить десятизначных чисел из всех десяти цифр. Ведь на этот вопрос Единички Магистр так и не ответил.
— Вот ещё! — заартачился президент. — Он не ответил, а я — мучайся.
На его счастье, как раз в это время подошла электричка.
Всю дорогу Нулик распевал какие-то карликанские песни, всем своим видом демонстрируя полную независимость от Магистра и его диссертации. И только при выходе на вокзальную площадь малыш вдруг спохватился:
— Чуть не забыл спросить: что такое софизм?
— Опоздал, брат, — сказал я. — Заседание закрыто. Так что уж подожди до следующего раза.
Диссертация рассеянного Магистра
В БОЧКЕ — ПО ОКЕАНУ!
Мы с Единичкой очень устали. Не столько от хождения по гористому Острову, сколько от бесчисленных загадок, которые было не так легко разгадать. Даже мне. А ведь я умею рассуждать логически и, кроме того, великолепно знаю математику. Не то что Единичка. Впрочем, что с неё взять? Одно слово — Единичка! Пристала сегодня с вопросом: как побыстрее вычислить в уме разность квадратов двух чисел? И назвала два числа: 500 и 498. Найти разность их квадратов ничего не стоит! Беру сперва разность этих чисел: 500 минус 498 равно двум. А затем возвожу двойку в квадрат. Вот вам и ответ: четыре. Но Единичка, вместо того чтобы восхититься моей находчивостью, потянула меня в Музей самообслуживания — остров-то ведь необитаемый! И вот там мы увидели необыкновенный экспонат.