Фермионные измерения, в отличие от обычных, накладывают ряд ограничений на характер возможных движений. Частица может двигаться в фермионном измерении вперёд или назад или покоиться, но при движении она может иметь только одну фиксированную «скорость». Правда, скорость — это очень грубая аналогия для описания движения в фермионном измерении. Гораздо лучше для такого описания подходит понятие спин. Вы помните, что многие частицы обладают спином, то есть, грубо говоря, вращаются, однако скорость этого вращения может принимать только фиксированные значения. Электрон обладает минимальным отличным от нуля спином. Фотон обладает вдвое большим спином, чем электрон, но, как мы уже знаем, спин фотона всегда ориентирован в направлении его движения. Гравитон обладает вдвое бо́льшим спином, чем фотон. И это всё. Не существует фундаментальных частиц, спин которых больше спина гравитона. Если теория суперсимметрии верна, то бозон Хиггса не движется ни в одном из фермионных измерений. Электрон движется в одном, фотон — в двух фермионных измерениях. Что же касается гравитона, то тут всё зависит от того, сколько фермионных измерений имеется в его распоряжении. Может статься, например, что часть спина гравитона приходится на фермионные измерения, а часть — на обычные пространственно-временные.
Фермионные измерения обладают одной исключительной особенностью, которая выражается в так называемом принципе запрета. Принцип запрета был сформулирован в 1925 году Вольфгангом Паули, и он гласит, что два фермиона не могут одновременно находиться в одном и том же квантовом состоянии. Электроны являются фермионами, поэтому два электрона в атоме гелия не могут находиться на одной и той же орбите в одном и том же состоянии — они должны по крайней мере иметь при этом противоположно направленные спины. Фермионы — это по определению такие частицы, которые подчиняются принципу запрета.
Частицы, не подчиняющиеся принципу запрета, — а в их число входят фотоны, гравитоны, глюоны и бозон Хиггса, — называются бозонами. Поведение бозонов радикально отличается от поведения фермионов. Бозоны не только могут находиться одновременно в одном и том же квантовом состоянии, но более того — предпочитают это делать. Суперсимметрия устанавливает отношение партнёрства между бозонами и фермионами. Каждому бозону суперсимметрия ставит в партнёрство фермион, и наоборот. Например, бозон Хиггса в качестве суперсимметричного партнёра имеет фермион, называемый хиггсино (иногда его ещё называют «шиггс»). Как бы мы его ни назвали, хиггсино представляет собой не что иное, как бозон Хиггса, движущийся в одном из фермионных измерений.
Фермионные измерения трудно изобразить наглядно, поэтому для удобства их изучения используются не совсем обычные алгебраические правила. Допустим, у нас есть два фермионных измерения. Обозначим то, что можно условно назвать расстояниями в этих измерениях, буквами a и b. При сложении и умножении на обычное число «необычная» алгебра ничем не отличается от обычной:
a + a = 2a
2(a + b) = 2a + 2b
a + b = b + a
А вот при умножении фермионных величин начинаются необычности:
a × b = −b × a
a × a = 0
b × b = 0
Эти правила можно интерпретировать следующим образом. Число 1 означает движение только в «бозонном» измерении, a означает движение в одном фермионном измерении, а b — в другом. Запись a × a описывает попытку совершить одно и то же движение дважды в одном фермионном измерении. Выражение a × a = 0 означает, что движения подобного рода в фермионных измерениях запрещены. Несколько труднее объяснить, почему a × b = −b × a. Обозначим буквой q любое движение или любую комбинацию движений в фермионном измерении, тогда если q = a, то выражение q × q = 0 будет означать a × a = 0, а если q = b, то выражение q × q = 0 будет означать b × b = 0. Но что будет, если q = a + b? Распишем произведение двух сумм, дважды воспользовавшись распределительным законом умножения: