Дина долго и внимательно смотрела на фигурки, а потом сказала:
— Я, кажется, могу… — и показала правильное решение.
После этого повторилась та же очень характерная история, что и в прошлый раз: ни Женя, ни Саня не смогли воспроизвести только что увиденное решение. Первой пробовала Саня. В решающий момент (когда козу надо везти назад) она надолго задумалась и не знала, что делать; Дина ей подсказала. Но после этого Женя опять заткнулась в том же самом месте. На этот раз я попросил Дину не подсказывать, и задача осталась нерешённой. Тогда я снова привлёк Дину, и она ещё раз показала своё решение, а Жене предложил внимательно следить. Женя «всё поняла» (как она сказала), кинулась повторять и снова застряла, и опять справилась с задачей лишь после подсказки Дины. Видимо, в задачах, где главное — логическая организация материала, запомнить решение чисто механически, без осознания этой организации, невозможно.
Вспоминается один из опытов Пиаже позднего периода, касающийся памяти. Маленькому ребёнку, который ещё не понимает, что такое упорядоченное множество (факт непонимания сначала проверяют специальными тестами), показывают картинку, на которой изображены упорядоченные по длине отрезки прямых (рис. 154 слева), и просят запомнить, что здесь нарисовано.
Рис. 154. Слева: упорядоченный набор отрезков; справа: как «запомнил» и воспроизводит их ребёнок, ещё не усвоивший понятия порядка. Уже через полгода тот же ребёнок, вспоминая прежнее задание, воспроизводит левый рисунок.
— Палочки — говорит он.
— Нарисуй, какие палочки.
В ответ на эту просьбу ребёнок рисует беспорядочный набор параллельных отрезков — так, как показано на том же рисунке справа. Так он их запомнил.
Проходит полгода, и у ребёнка спрашивают, помнит ли он то старое занятие. Оказывается, что да, помнит. Его просят нарисовать то, что было тогда — и он рисует совершенно правильную (левую) картинку, на которой отрезки упорядочены по длине — и даже оказывается в состоянии объяснить, что они упорядочены, чего раньше был сделать не в состоянии. После этого опыта устройство нашей памяти представляется совсем уж загадочным.
В соответствии с этим опытом можно было бы через какое-то время, скажем, через полгода, спросить у Жени, помнит ли она решение задачи про волка, козу и капусту. К сожалению, в нашей ситуации невозможно будет отличить, вспомнила ли она старое решение или решила задачу заново.
У меня с этой задачей всегда была одна и та же проблема — я забывала решение и с некоторым ужасом смотрела на рисунок, уверенная, что вот сейчас я не придумаю и опозорюсь (про то, что раньше у меня получалось, я помнила, но уверенности это мне никакой не придавало)
Про задачу с лодкой и рыбаками я вовсе не забыла, и теперь, a posteriori, мне кажется, из сравнения поняла все дело в цели персонажей — да, да!
Рыбаки хотят попасть на другой берег, они это и делают, а мальчики им помогают. Мальчики никуда не стремятся, они просто «катаются» и хотят в конце сохранить лодку. Куда им ехать — туда или обратно — никакого значения для них не имеет. Никакое из действий участников не противоречит их целям.
А вот в волке, козе и капусте есть один совершенно психологически абсурдный ход мужик везет специально привезенную им козу обратно. Подозреваю, что именно в этом месте у меня всегда был «затор» — Женя
Задание 2. Треугольная призма. По аналогии с прошлой задачей про кубик я дал девочкам треугольную призму, у которой надо было сосчитать количество вершин, рёбер и граней. Саня и Дина с задачей справились, а Женя — с шероховатостями.
Задание 3. Многоугольники. На листе бумаги мы рисовали разные многоугольники и подсчитывали у них количество вершин и сторон. Подробности того, как протекала эта задача, я уже забыл, но, кажется, совпадение получалось не всегда. Помню только, что царил какой-то сумбур.
Задание 4. Ещё раз С25. Семья Дины, в отличие от всех моих прошлых и нынешних учеников, имеет профессиональное отношение к математике, а потому и собственное мнение о стиле моих занятий. Часто мне кажется, что их раздражает и кажется им дурацкой моя манера не давать никаких объяснений (т. е. не объяснять, как решается задача). Подобно многим математикам, они считают главным педагогическим достижением умение чётко и понятно («доступно») объяснить решение задачи. В этом направлении происходит главное педагогическое творчество: в поиске наглядных образов, логических ходов, аллегорий и т. п. Например, как объяснить новичку отличие интеграла Лебега от интеграла Римана? Нужно взять горсть монет и показать два метода суммирования: все подряд (по Риману) или отдельно монеты каждого достоинства (по Лебегу). Я подозреваю, что в моём игнорировании объяснений они видят не столько позицию, сколько неумение. Несколько раз они делились со мной разными соображениями о том, как можно было бы ту или иную вещь объяснить девочкам, как они что-то объяснили Дине и она, конечно же, всё поняла. Впрочем, когда Алла стала однажды говорить Гале о том, что я считаю, что ничего детям втолковывать не следует, то Галя отреагировала на это таким образом, что, мол, конечно, разумеется, кто же этого не понимает. Так что, может быть, мне всё это только кажется.