— Наверно кусочек упал на пол, а мы не заметили.
Ну, хорошо: если так трудно, а то и вовсе невозможно научить ребёнка понятию числа, то чего я, собственно, добиваюсь? В чём цель и смысл моих занятий? Я уже говорил об этом, и буду повторять не раз: смысл занятий — в самих занятиях. В том, чтобы было интересно. В том, что ставить перед собой вопросы и искать на них ответы. В общем, это такой образ жизни.
* * *
Чтобы закончить этот раздел, расскажу ещё пару историй. Первая из них относится к моему собственному детству. Не знаю, сколько мне было лет; видимо, что-то около пяти. Мы жили в Витебске. Во дворе нашего дома жил один старик, который любил время от времени поговорить с детьми. Я был «умненький мальчик», и про меня было известно, что я умею считать. Вот однажды он и предложил мне умножить 3 на 5. Я уже знал, что умножить — это значит сложить с собой нужное количество раз. И я пустился в это опасное и полное приключений плавание. Сначала 3 + 3; это будет 6, и это пока легко. Идём дальше: 6 + 3 = 9; это лишь незначительно сложнее, но главное — не сама операция; главное — это не забывать, сколько раз я уже сделал сложение. Теперь начинается самый трудный момент: 9 + 3. Это, во-первых, переход через десяток, а во-вторых и снова — как бы не упустить, сколько раз я уже сложил… И уже почти приходя в отчаяние, на последнем пределе своих умственных возможностей, я сложил 12 и 3 и сказал:
— Пятнадцать.
— Правильно! — ответил старик. — А как ты считал?
Я объяснил.
— Зачем же так сложно? — удивился он. — Можно было просто сложить 5 + 5 + 5.
Я был совершенно сражён и одновременно сбит с толку. Сложить 5 + 5 + 5 — это проще простого: 5 + 5 = 10 (тривиально), и 10 + 5 = 15 (тоже тривиально). И, что самое удивительное, в результате в самом деле получается 15. Но почему!!?
Эта событие надолго запало мне в память. Я искал объяснения — и не находил. В школе я узнал, что в шестом классе начнётся алгебра, и там будут формулы. Детям редко приходит в голову мысль, что можно заглянуть в учебник за будущие классы. И я терпеливо ждал шестого класса, надеясь, что тогда-то и придёт долгожданное просветление. В шестом классе я написал формулу ab = ba, долго и тупо смотрел на неё, но никакого просветления так и не произошло. В девятом классе я попал в знаменитый Колмогоровский физико-математический интернат при Московском университете. Программа там была продвинутой; мы довольно быстро перешли к изучению групп, полей и колец. «Господи, какой же я был глупый, — решил я. — Ведь это же просто-напросто аксиома, и называется она коммутативностью. А аксиомы не доказывают».
Время шло, и я ещё слегка поумнел. Я понял, что аксиома-то она аксиома, но ввели её не потому, что кто-то так распорядился, не по чьему-либо капризу, а потому что это свойство реально выполняется при умножении натуральных чисел.
(Заметим здесь в скобках, что, например, возведение в степень — т. е. «повторяющееся умножение» — вовсе не коммутативно. Умножьте 5 само на себя 3 раза, а потом умножьте 3 само на себя 5 раз, и результаты получатся совершенно различные. А вот для «повторяющегося сложения» почему-то получается одно и то же.)
И уж не помню сейчас, когда и почему я осознал, что речь идёт просто о том, чтобы по-разному сосчитать одно и то же множество предметов. Мы берём «сколько-то» камешков и выкладываем их в три ряда по пять штук; а это то же самое, что выложить их в пять рядов по три штуки — смотря что считать рядом (рис. 9). Так значит, всё дело в том, что если одни и те же предметы считать в разном порядке, то результат должен получиться один и тот же! И, значит, не так-то уж это свойство и очевидно, если его осознание потребовало стольких лет и стольких умственных усилий.
Рис. 9. Здесь 3 горизонтальных ряда по 5 кружков в каждом, т. е. всего 5–3. Но можно также и сказать, что здесь 5 вертикальных рядов по 3 кружка в каждом, т. е. всего 3–5. Если верить в то, что как ни считай, получишь одно и то же, то следует заключить, что 5–3 = 3–5.
И в заключение — ещё одна сценка. Точнее, подслушанный диалог. Участников двое — муж и жена; оба пенсионеры, обоим около 80 лет. Поэтому речь и движения персонажей происходят в замедленном темпе. Жена собирается готовить на ужин яичницу. Неожиданное препятствие: сковородка, в которой она обычно это делает, осталась непомытой после обеда.