Я ничего не объясняю, только спрашиваю, являются ли квадраты четырёхугольниками. Ответ:
— Да.
Задание 3. Из «математического набора первоклассника» выбрано 16 предметов (число, кратное четырём — количеству участников): 2 синих кружочка, 2 жёлтых квадрата, 3 красных квадрата, 4 красных треугольника, 5 зелёных треугольников. На стол кладётся кругом верёвка, связанная концами. Я даю каждому по очереди по одной фигурке — нужно класть красные внутри верёвки, не красные — снаружи.
Верёвка убирается, но кладётся другая, точно такая же. Теперь нужно внутрь класть треугольники, а наружу — не треугольники. Снова все справляются (Андрюша делает одну ошибку).
Наконец, на столе обе верёвки, но пока я кладу их непересекающимися. Требуется выполнить оба задания одновременно. После первого прохода я подсовываю Диме (впервые) красный треугольник. Он, не задумываясь, кладёт его в красные. Я обращаю внимание всех на конфликт между условиями, говорю, что это задача для всех.
[Опять спешка! Надо было дождаться конца и потом обсудить, всё ли верно.]
Андрюша:
— А это нарочно так придумано?
— Конечно, нарочно. До сих пор была только подготовка, а настоящая задача началась сейчас. Нужно что-то придумать, изобрести, чтобы этот треугольник лежал и тут, и тут.
Дима пытается положить треугольник в виде мостика на обе верёвки. Я:
— А может быть, передвинуть как-нибудь верёвки?
Андрюша первый догадывается, что нужно положить верёвки одну на другую. (Кажется, Дима тоже догадался, но не успел сказать.)
Теперь задача решена и легко доделывается до конца (каждый по одному разу получает красный треугольник, так как их всего 4). На чёрном фоне стола белые верёвки и разноцветные фигурки выглядят очень красиво. Я обращаю внимание ребят на этот факт.
Андрюша:
— Это была моя идея!
Дима:
— Нет, моя!
Я ещё пытался что-то сказать о том, что красные треугольники принадлежат сразу двум классам, но без эффекта.
Задание 4.Ханойская башня. Каждый получает экземпляр игры, я объясняю правила.
Эта игра — настоящая жемчужина программистской литературы; в неё можно играть с пятилетними, но и пятикурсникам-информатикам тоже найдётся над чем подумать. В начальной позиции несколько кружков разных размеров уложены друг на друга, образуя башню. Башня стоит на одном из трёх полей (рис. 15).
Рис. 15. Ханойская башня в начальной позиции.
Цель игры — переставить башню на другое поле, соблюдая следующие правила:
(а) кружки переставляются только с поля на поле; при этом они кладутся друг на друга, так что получаются маленькие башни; нельзя откладывать кружок куда-то в сторону;
(б) при каждом ходе передвигается только один кружок — несколько кружков одновременно переносить нельзя; в частности, запрещено брать по кружку в каждую руку;
(в) можно брать кружок лишь с вершины какой-нибудь башни и класть его только на вершину другой башни; иными словами, нельзя брать кружок из середины башни, и нельзя вставлять его в середину другой башни (чтобы сделать это правило более явным, кружки часто изготовляют с отверстиями в центре, и каждую башню надевают на стержень);
(г) наконец — и это очень важно — запрещено класть больший кружок на меньший.
Одна из промежуточных позиций в игре показана на рис. 16.
Рис. 16. Башня и одной на промежуточных позиций. И конце игры она должна полностью переместиться на одно из соседних полей — либо на B, либо на С.
Игру изобрёл в конце XIX века французский математик Эдуард Люка. Он же украсил её такой романтической легендой.
Где-то в непроходимых джунглях недалеко от Ханоя есть монастырь Брамы. В начале времен, когда Брама создавал мир, он воздвиг в этом монастыре три высоких алмазных стержня и на один из них возложил 64 диска, сделанных из чистого золота Он приказал монахам перенести эту башню на другой стержень (с соблюдением всех правил, разумеется). С того времени монахи работают день и ночь. Когда они закончат свой труд, наступит конец времен.
Отдельная задача для более старших детей — оценить хотя бы приблизительно, когда наступит этот самый «конец времен».
[Указание: чтобы переставить башню из n дисков, требуется 2n — 1 операций. Пусть, например, одна операция занимает одну секунду. Сколько времени потребуется для перестановки всей башни при n = 64?]