Рис. 68. Неудавшаяся снежинка: всего три оси симметрии, а центра симметрии вообще нет. Эту снежинку можно поворачивать на 120°, но повороты мы ещё «не проходили».
Задание 2. Построение снежинки на круглой мозаике. Речь идёт не о той прямоугольной мозаике, которой мы многократно пользовались на предыдущих занятиях, а о другой, круглой мозаике с шестиугольными фишками. Задание ясно из заглавия: я ставил на мозаику одну фишку, а очередной из мальчиков должен был поставить все соответствующие ей фишки, чтобы получилась снежинка (т. е. если исходная фишка была на луче, то надо было достроить ещё 5, а если не на луче, то ещё 11, рис. 69).
Рис. 69. Если точка лежит на луче снежинки, ей соответствуют ещё 5 «таких же» точек; то же самое верно и для точек, лежащих на биссектрисах лучей. В остальных случаях одной точке соответствуют ещё 11 «таких же».
Цвет, естественно, тоже учитывался. Дима и Петя делали всё правильно, а Женя почему-то всё время допускал одну и ту же ошибку. В итоге их деятельности получилась довольно красивая разноцветная снежинка.
Следует обратить внимание на нечёткую постановку задачи: «чтобы получилась снежинка». Для меня это до некоторой степени — вопрос принципа. Чёткая и точная постановка потребовала бы разговоров о поворотах, о сразу многих осях симметрии и чуть ли не о группе автоморфизмов, и дети всё равно бы ничего не поняли и не запомнили. Разумный режим работы — это когда понимание условия и необходимые уточнения к нему приходят в процессе решения. Не так ли работает математик-исследователь? Окончательная формулировка задачи становится ясной лишь тогда, когда задача наконец решена.
Задание 3. Ассоциативность (и коммутативность) сложения. Я сказал ребятам, что когда они пойдут в школу, они там будут учиться считать, но и сейчас уже… Они меня перебили и стали кричать каждый своё:
Петя: А я уже умею, но только до ста.
Женя: А я только по часам.
Дима: А я умею считать до очень больших чисел, только я не пробовал.
По контексту я понял, что они под словом «считать» понимают последовательное перечисление чисел: раз, два, три… Я сказал, что они ещё немножко умеют складывать и умножать. Выяснилось, что Петя и Женя не знают, что значит «умножать». Я объяснил, что это значит складывать много раз одинаковые числа, и привёл пример.
Но самое интересное, продолжал я, не просто складывать и умножать, а знать некоторые удивительные секреты про сложение и умножение. И вот один из таких секретов я вам сейчас покажу.
После этого мы рассмотрели два примера: 5 + 6 + 7 и 6 + 8 + 2. В каждом из них мы делали сложение тремя различными способами: сначала выбирали два числа и складывали их, затем к сумме прибавляли третье число.
[Надо было начать с коммутативности.]
Каждый раз получалось одно и то же. Я спросил у ребят, почему так получается, и всегда ли будет одно и то же. Без всякого удивления они ответили, что всё это потому, что мы складываем одни и те же числа, и что так будет всегда. Я назвал три очень больших числа, одно из них с миллионами, и спросил, уверены ли они, что для таких больших чисел тоже всё будет правильно. Мальчики согласились, что для таких чисел это может оказаться и неправильным.
Тогда как же всё-таки объяснить совпадение результатов у нас? Петя снова повторил тот же аргумент: мы складываем одни и те же числа и, значит, делаем одно и то же.
— Как одно и тоже? — возмутился я.
— Смотри, здесь мы сначала получаем 11 и к нему прибавляем 7, а здесь сначала получаем 13, а к нему прибавляем 5!
— Ну и что? — ответил Петя.
А мне так хотелось, чтобы они удивились!
Тогда я зашёл с другого конца.
— А что, — спросил я, — если мы делаем одни и те же действия в разном порядке, всегда получится одно и то же?
— Да, — сказал Петя.
— Ну смотри, Петя, — сказал я. — Допустим, что тебе нужно надеть носки, валенки и галоши. Если ты сначала наденешь носки, потом валенки, а потом галоши, то всё будет хорошо.