(Кивок.)
— Ну а если ты наденешь сначала галоши, потом валенки, а потом носки?
Раздался громкий хохот, и мальчики стали наперебой сочинять, что ещё можно неправильно надеть.
— Вот видите, — сказал я, — иногда нужно делать не только правильные действия, но ещё и в правильном порядке.
[Следует признать, что пример не совсем честный, так как демонстрирует нарушение коммутативности, а не ассоциативности. Однако коммутативностью сложения мы тоже пользовались, когда складывали два крайних члена суммы, а потом добавляли средний.]
— Почему же всё-таки у нас всё правильно?
Петя ответил, что ему всё равно всё понятно, только он не знает, как объяснить.
— Ну ладно, — сказал я, — если вы так уверены, что можно складывать числа в любом порядке, то решите вот такую задачу: нужно сложить все вот эти числа.
И я разложил на столе карточки с числами от 1 до 9, которые вообще-то предназначались для того, чтобы складывать из них магический квадрат 3x3. Я сказал, что это задача очень трудная, но если они проявят хитрость и придумают, какие числа с какими удобно складывать, то она станет лёгкой.
Однако ребята всё же стали складывать числа подряд. Считал практически один Дима; Женя иногда подключался, понукаемый Наташей, Петя же только в самом начале закричал:
— Получится сто! — и этим его участие в процессе счёта и ограничилось.
Досчитали; получилось 45. Я сказал, что они молодцы и очень хорошо считают, но что хитрости у них всё же маловато, и другим способом можно было бы сосчитать гораздо проще. Дима предложил считать с другого конца (с девятки).
— Ну попробуй, будет ли проще, — сказал я. — Девять и восемь легко сложить?
— Нет, — ответил Дима, но тут его перебил Женя и сказал, что если считать с другого конца, то будет больше.
— Сто! Получится сто! — обрадованно закричал Петя.
(Куда только девалась его уверенность в том, что результат всегда будет одинаковым?) Тогда мы стали всё-таки считать с правого конца; работал опять один Дима, и получилось снова 45.
Поскольку ребята никак не догадывались до разумного способа, я задал наводящий вопрос:
— А вот единицу с кем очень легко сложить? (Прошу прощения у ригористов, я очень люблю делать числа одушевлёнными.)
На это Дима резонно ответил, что её с любым числом легко сложить. Тогда я нашёлся:
— А девятку?
Оказалось, что девятку легче всего сложить с единицей — и получить очень хорошее число 10, его можно отложить отдельно и запомнить. Тут ребята сами догадались, что так же можно отделить 2 + 8, 3 + 7 и 4 + 6. Получилось четыре десятки и отдельно 5.
— Ну и сколько же получилось в сумме? — спросил я.
— Сто! — закричал Петя.
К моему удивлению, не одному лишь Пете, но и Диме с Женей тоже было не очевидно, что четыре десятки плюс пять дают 45. Так что пришлось ещё кое-что объяснять и наводящие вопросы задавать. То ли они уже устали, то ли задача для них слишком трудна — не знаю. Интересно, как обстояло дело тогда, когда люди ещё не придумали позиционную систему счисления. Им тогда не приходилось оперировать с цифрами, представляющими собой отдельно десятки и отдельно единицы. Возможно, формальный характер этих операций не заслонял от них сути дела? Но это всё фантазии.
В заключение я пообещал, что в следующий раз мы попытаемся сложить из этих чисел магический квадрат, но сам теперь сомневаюсь, доступна ли для них эта задача. Несколько проб, которые ребята сделали тут же, на месте (без моего участия) скорее убеждают в том, что недоступна.
Вечером Дима подошёл ко мне и спросил, как всё-таки — всегда ли будет одинаковое число, если складывать по-разному. Я сказал, что всегда. А знаю ли я сам объяснение? Знаю. Почему же я им не сказал? Потому что хотел, чтобы они сами думали. А когда они сами догадаются, я им скажу? Я ответил, что скажу.
Занятие 44. Магический квадрат
16 января 1982 года (суббота). 1120-1220 (1 час). Дима, Петя, Женя.
Описать это занятие очень трудно. Первым заданием было складывание магического квадрата — и хорошо ещё, что я сделал его первым, так как оно растянулось на целый час и оказалось очень трудным. Всё занятие состояло из проб различных вариантов, а также из поиска (с моими подсказками и наводящими соображениями) руководящих принципов перебора. В общих чертах события развивались так.
1) Сначала мы решили выбрать то число, которое должно служить суммой элементов каждой строки и каждого столбца. По предложению ребят было выбрано число 5. Долгое время они пытались получить сумму 5; наконец, пришли к выводу, что это невозможно, однако я потребовал объяснений. С грехом пополам совместными усилиями мы такое объяснение нашли: даже три самых маленьких числа 1, 2 и 3 уже дают сумму большую, чем 5.