Кубооктаэдр имеет 24 одинаковых ребра [9], притом длины этих рёбер равны расстоянию до центральной частицы (что можно видеть, исходя из плотной упаковки сфер). Итого число связей такого типа, т.е. равных r (радиусу описанной сферы), n = 24 + 12 (12 — по числу вершин).
Также есть связи по типу диагоналей квадратов-граней. Квадраты имеют длину ребра r, следовательно длина этих связей, a:
a^2 = r^2 + r^2
a = sqrt(r^2 + r^2).
Число таких связей, очевидно = 12 (т.к. число граней-квадратов в кубооктаэдре = 6, см. рис. 2).
Рис. 2 [II]
Далее имеются связи по типу 2r. Число таких связей в среднем слое кубооктаэдра = 3, см. рис. 3.
Рис. 3 [III]
Число связей такого типа между верхним и нижним слоями частиц = тоже 3, см. рис. 4.
Рис. 4 [IV]
Следующий, четвёртый тип связи, в среднем слое показан на рис. 5. Число таких связей в среднем слое = 6.
Рис. 5 [V]
Длина такой связи, b:
b^2 = (высота треугольника со стороной r)^2 + (r + 1/2*r)^2
b^2 = (sqrt(3)/2*r)^2 + (r + 1/2*r)^2
b = sqrt((sqrt(3)/2*r)^2 + (r + 1/2*r)^2).
Связей 4-го типа между верхним и средним слоем всего 6, см. рис. 6. Соответственно, столько же — и между нижним слоем и средним (т.к. их связывает зеркальная симметрия).
Рис. 6 [VI]
Связи 4-го типа между верхним и нижним слоем показаны на рис. 7. Их число, как видно, = 6.
Итого, связей 4-го типа, n = 6 + 6 + 6 + 6 = 24.
Итого, связей всех типов в кубооктаэдре, n = 36 + 12 + 6 + 24 = 78.
Рис. 7 [VII]
Рассчитаем силу связей между элементами в кубооктаэдре. Как отмечалось, сила связи аналогична гравитационной и электромагнитной, т.е. обратно пропорциональна квадрату расстояния x, т.е. 1/x^2. Расстояния, и числа этих расстояний, у нас есть. Остаётся рассчитать суммарную энергию связей в конструкции.
Чтобы можно было выразить эту энергию в единицах энергии (= массы) электрона учтём также, что сила связи между двумя точками на расстоянии 1 = 1/(1^2) = 1 в 4 раза больше, чем энергия отдельной не связанной точки (электрона), что обосновывается геометрической прогрессией энергии связей, при нарастании числа шаров, выстраиваемых в ряд: если 2 шара = 4, то 3 шара = 9, т.о. в продолжение прогрессии влево, 1 шар (электрон) = 1, см. рис. 8.
Рис. 8
Итак, рассчитаем энергию всех связей в кубооктаэдре в единицах энергии-массы электрона:
Энергия связей 1 типа: E = 4 (т.е. коэффициент перевода в массы электрона) * 36 (т.е. число связей) * 1/(r^2) = 144 (т.к. r = 1);
Энергия связей 2 типа: E = 4 * 12 * 1/(sqrt(r^2 + r^2))^2 = 4 * 12 * 1/(r^2 + r^2) = 4 * 12 * 1/2 = 24;
Энергия связей 3 типа: E = 4 * 6 * 1/((2*r)^2) = 4 * 6 * 1/4 = 6;
Энергия связей 4 типа: E = 4 * 24 * 1/(sqrt((sqrt(3)/2*r)^2 + (r + 1/2*r)^2))^2 = 4 * 24 * 1/((sqrt(3)/2*r)^2 + (r + 1/2*r)^2) = 4 * 24 * 1/(0,75 + 2,25) = 32.
Энергия всех связей: E = 144 + 24 + 6 + 32 = 206.
Случай гексагональной упаковки
В этом случае, элементарной ячейкой служит, в отличие от кубической гранецентрированной решётки, не кубооктаэдр, а его половина (верхняя часть), отражённая зеркально (нижняя половина оказывается зеркальным отражением верхней), см. рис. 9 и 10.
Рис. 9 [VIII]. Элементарная ячейка гексагональной упаковки, вид сверху
Рис. 10 [IX]. То же, вид сбоку
Соответственно все связи, кроме связей между частицами верхнего и нижнего слоя, оказываются такими же как в кубооктаэдре.
Вместо трёх связей по типу 2r между верхним и нижним слоем частиц, в гексагональной решётке образуются 3 связи, c:
c = две высоты тетраэдра с ребром r
c = 2*sqrt(2/3)*r.
Также вместо шести связей 4-го типа между частицами верхнего и нижнего слоя, гексагональная решётка даёт 6 связей типа d:
d^2 = r^2 + (две высоты тетраэдра с ребром r)^2
d^2 = r^2 + (2*sqrt(2/3)*r)^2
d = sqrt(r^2 + (2*sqrt(2/3)*r)^2).
Рассчитаем энергию всех связей в ячейке гексагональной решётки в единицах энергии-массы электрона:
Энергия связей 1 типа равна таковой для кубооктаэдра: E = 144;
Энергия связей 2 типа также равна таковой кубооктаэдра: E = 24;
Энергия связей 3 типа: E = 4 * 3 * 1/((2*r)^2) = 4 * 3 * 1/4 = 3;
Энергия трёх связей, заменяющих три связи 3 типа: E = 4 * 3 * 1/((2*sqrt(2/3)*r)^2) = 4 * 3 * 0,375 = 4,5;
Энергия связей 4 типа: E = 4 * 18 * 1/(sqrt((sqrt(3)/2*r)^2 + (r + 1/2*r)^2))^2 = 4 * 18 * 1/((sqrt(3)/2*r)^2 + (r + 1/2*r)^2) = 4 * 18 * 1/(0,75 + 2,25) = 24;
Энергия шести связей, заменяющих шесть связей 4 типа: E = 4 * 6 * 1/(sqrt(r^2 + (2*sqrt(2/3)*r)^2))^2 = 6,54(54).
Энергия всех связей: E = 144 + 24 + 3 + 4,5 + 24 + 6,54(54) = 206,045(45) (т.е. 45 в периоде).
Случай икосаэдра
Помимо плотных упаковок выбитых частиц, интерес представляет более симметричный вариант упаковки, икосаэдр, см. рис. 11.
Рис. 11 [X]
Радиус описанной сферы r (т.е. такой, что касается икосаэдра во всех вершинах) соотносится с длиной ребра a:
r = a/4*sqrt(10+2*sqrt(5)).
r является расстоянием между частицами (центрами частиц) оболочки и центральной частицей. Таких расстояний всего 12,— по числу вершин.
Далее, a = (r/sqrt(10+2*sqrt(5)))*4. Таких расстояний всего 30,— по числу рёбер.
Существует также 6 расстояний между наиболее дальними др. от др., вершинами икосаэдра,— соответствующие диагоналям трёх ортогональных др. др. прямоугольников, вписанных в икосаэдр на рис. 12. Длина таких связей 2r.
Рис. 12 [XI]
Четвёртый тип связи составляют связи длиной с большую сторону отмеченных прямоугольников, b. По теореме Пифагора:
b^2 + a^2 = (2r)^2
b^2 = (2r)^2 - a^2
b = sqrt((2r)^2 - a^2)
b = sqrt((2r)^2 - (r/sqrt(10+2*sqrt(5))*4)^2).
Число таких связей рассчитаем с помощью изображений связей частиц в слоях (горизонтальных срезах) икосаэдра, и между слоями, см. рис. 13—15.
Рис. 13 [XII]. Связи 4 типа в среднем срезе икосаэдра (n = 6).
Из рис. можно также видеть, что число таких связей в верхнем срезе = 0, и в нижнем = 0.
Рис. 14 [XIII]. Связи 4 типа между частицами верхнего и среднего слоя (n = 9).
Связей между частицами нижнего и среднего слоя, из-за их зеркальной симметричности случаю на рис. 14, также будет 9. Осталось нарисовать "матрицу связности" частиц верхнего и нижнего слоя, см. рис. 15.