В следующей рамке приведен общедоступный вариант первого из этих доказательств, показывающего, что если форма объекта неизменна, то при увеличении его размеров все его поверхности увеличиваются пропорционально квадрату, а все его объемы – пропорционально кубу линейных размеров.
Для начала рассмотрим простейший геометрический объект, например квадратную плитку, и представим себе ее увеличение до большего размера (см. рис. 5). Например, предположим, что длина ее стороны равна 1 м, то есть ее площадь, полученная перемножением длин смежных сторон, равна 1 м × 1 м = 1 м². Если удвоить длины всех ее сторон, увеличить их с 1 до 2 м, то площадь плитки увеличится до 2 м × 2 м = 4 м². Точно так же, если длины сторон утроить (увеличить до 3 м), площадь возрастет до 9 м² – и так далее. Общее правило очевидно: площадь возрастает пропорционально квадрату длины.
Это соотношение остается справедливым не только для квадратов, а для любой двумерной геометрической фигуры, если ее форма остается неизменной при одинаковом увеличении всех линейных размеров. Простой пример дает круг: например, при удвоении его радиуса площадь круга увеличивается в 2 × 2 = 4 раза. В более общем случае удвоение всех линейных размеров вашего дома при сохранении неизменными его формы и конфигурации приведет к увеличению площадей всех поверхностей, например стен и полов, в четыре раза.
Эти же рассуждения можно простым образом перенести на объемы. Для начала рассмотрим простой куб: если длины всех его сторон увеличить в два раза, например с 1 м до 2 м, то его объем увеличится с 1 м³ до 2 × 2 × 2 = 8 м³. Аналогичным образом, если эти длины увеличить втрое, объем возрастет в 3 × 3 × 3 = 27 раз. Как и в случае площади поверхностей, это правило можно обобщить на случай любых объектов произвольной формы, если она сохраняется неизменной, и заключить, что при увеличении любого объекта его объем возрастает пропорционально кубу его линейных размеров
Рис. 5. Иллюстрация масштабирования объемов и площади поверхностей для простейшего случая квадратов и кубов
Рис. 6. Прочность балки или конечности пропорциональна площади их поперечного сечения
При удвоении всех длин
Площадь поверхности увеличивается в 2 × 2 = 4 (22) раза
Объем увеличивается в 2 × 2 × 2 = 8 (23) раз
Таким образом, при увеличении размеров объекта его объем увеличивается гораздо быстрее, чем площадь его поверхностей. Приведем простой пример: при удвоении всех линейных размеров дома с сохранением его формы объем увеличивается в 23 = 8 раз, а площадь помещений – всего в 22 = 4 раза. Если взять гораздо более радикальный случай и увеличить все линейные размеры в 10 раз, все площади поверхностей – полов, стен, потолков и так далее – увеличатся в 10 × 10 = 100 раз (то есть стократно), а объемы помещений возрастут много больше, в 10 × 10 × 10 = 1000 раз (то есть тысячекратно).
Это обстоятельство чрезвычайно важно для устройства и деятельности многого из того, что нас окружает, будь то здания, в которых мы живем и работаем, или строение животных и растений природного мира. Например, уровни отопления, охлаждения и освещения в большинстве случаев пропорциональны площади поверхности нагревателей, кондиционеров и окон. Поэтому их производительность растет гораздо медленнее, чем объем помещений, которые требуется отапливать, охлаждать или освещать, поэтому при масштабном увеличении здания его потребности в этом отношении возрастают непропорционально. Сходным образом для крупных животных может быть проблематичным обеспечение рассеяния тепла, выделяемого в результате обмена веществ и физической деятельности, так как площадь поверхности, через которую это тепло рассеивается, у них меньше относительно объема тела, чем у животных более мелких. Например, слоны решили эту проблему, отрастив себе непропорционально большие уши, которые существенно увеличивают площадь поверхности их тела и позволяют рассеивать большее количество тепла.
Весьма вероятно, что принципиальное различие между масштабным увеличением поверхностей и объемов осознавали многие и до Галилея. Его дополнительная новая идея заключалась в объединении этой геометрической истины с осознанием того, что прочность колонн, балок и членов тела определяется величиной площади их поперечного сечения, а не длиной. Так, столб с прямоугольным сечением 4 на 10 см (= 40 см²) может поддерживать вес, в четыре раза больший, чем столб из того же материала, линейные размеры поперечного сечения которого в два раза меньше, то есть 2 на 5 см (= 10 см²) независимо от длин обоих столбов. Первый из них может быть длиной 2 м, а второй – 4, это не имеет значения. Именно поэтому строители, архитекторы и инженеры, занимающиеся строительством, классифицируют пиломатериалы по площади поперечного сечения, а в строительных магазинах их снабжают этикетками типа «40 × 40», «40 × 50», «50 × 50» и так далее.