В веселой и захватывающей статье Мартина Гарднера о симметрии читателю задается безнадежный вопрос: «Почему зеркало меняет местами правое и левое, но не переворачивает верх и низ?» Отвечая на него, обычно приводят подробнейшее описание хода лучей и оптических законов. Но нам кажется, что существует даже более серьезная причина, которую надо искать в области психофизиологии. Внешне люди двусторонне симметричны, однако поведение их довольно несимметрично. Умением отличать правое от левого мы, как писал в 1900 году Эрнст Мах, обязаны асимметрии наших органов чувств. Таким образом, мы представляем собой до некоторой степени асимметричный дух, вселенный во внешне симметричное тело, таков по крайней мере результат беглого исследования нашего внешнего облика. Здесь термин «симметрия» употребляется в информационном смысле и означает, что наблюдатель никаким другим способом, кроме как с помощью органов чувств, не может различить два или более объектов вокруг себя. Уточняя наблюдение, он, безусловно, может получить информацию о каких-нибудь различиях, и тогда рассматриваемая система перестанет быть симметричной.
Стоя перед зеркалом, мы видим в нем внешне двусторонне симметричную структуру, и это создает у нас неправильное представление о том, что мы сами и наше отражение совершенно идентичны, а не являются энантиоморфами (существами с противоположной «ручностъю»). Поэтому мы можем мысленно повернуть в трехмерном пространстве наше отражение на 180° вокруг вертикальной оси и, совершив параллельный перенос на расстояние, равное удвоенному расстоянию до зеркала, совместить себя и отражение. При этом мы исходим из предположения, что у нашего отражения органы чувств и центральная нервная система такие же, как у нас самих, а не как у нашего энантиоморфа. С этим и связано ошибочное утверждение, будто, когда мы поднимаем правую руку, отражение поднимает левую. Если мы теперь (что более точно) представим себе, что органы чувств внутри зеркального отражения энантиоморфны нашим, то станет ясно, что его определение правого и левого надо тоже отразить в зеркале, и поэтому, когда мы поднимаем ту руку, которая является правой для нас, отражение тоже поднимает руку, но ту, которая является правой для него. Надо снабдить зеркального двойника не нашей собственной координатной системой, а системой координат, отраженной в зеркале. Это очень легко показать.
Возьмите в одну руку бумажный пакет и следующим образом переопределите координатные оси: «голова — ноги», «вперед — назад» и «рука — пакет» (вместо «левое — правое»). Встаньте теперь перед зеркалом и убедитесь в том, что, когда вы качаете головой, отражение качает головой, когда вы шевелите ногой, отражение шевелит ногой, когда вы шевелите рукой, отражение шевелит рукой, а когда вы поднимаете пакет, отражение тоже поднимает пакет. Что же случилось с перестановкой правого и левого? Асимметрия исчезла как призрак в результате простейшей процедуры: вы сделали себя внешне несимметричным относительно замены правого на левое.
Теперь вам больше не удастся совместить себя и отражение поворотом на 180° вокруг вертикальной или любой другой оси.
Отсюда видна энантиоморфная природа нашего отражения.
Для иллюстрации того, как общепринятое соглашение о вращении предметов вокруг вертикальной оси приводит к заключению о перестановке в зеркале правого и левого не только у нас самих, но и у окружающих предметов, рассмотрим обычную карту Америки, на которой север находится вверху, а восток — справа. Чтобы увидеть зеркальное отражение этой карты, мы обычно вращаем ее по направлению к зеркалу вокруг оси север — юг. Несомненно, такая привычка появилась от того, что большая часть движений, которые мы делаем, изучая окружающие предметы, представляет собой вращение вокруг вертикальной оси. Если бы, например, карта висела на стене напротив зеркала, мы бы сначала посмотрели в карту, а потом повернулись бы вокруг вертикальной оси, чтобы увидеть отражение. В обоих случаях восток был бы у нас слева, но север оставался бы всегда наверху. Однако если для того, чтобы увидеть зеркальное отражение, мы повернем карту вокруг оси восток — запад или будем смотреть на отражение, стоя на голове, то восток у нас окажется справа, зато север переместится вниз. Таким образом, оказывается, что зеркало перевернуло верх и низ, а не правое и левое. Единственной определенной координатной системой является система, которую наблюдатель может привязать к окружающим предметам, а координатные оси при этом выбираются так, чтобы начало координат можно было поместить в любую точку пространства, доступную восприятию наблюдателя. Описывая относительное расположение частей объекта, мы обычно так располагаем координатную систему, чтобы начало координат оказалось в самом объекте. Тогда координатные оси верх — низ, сзади — спереди и правое — левое будут соответствовать осям наблюдателя. Благодаря движению объекта или самой координатной системы (то есть наблюдателя) предметы в такой системе координат вращаются и некоторые координаты объекта будут менять знак. В результате вращения предмета вокруг вертикальной оси меняются знаки его координат правое — левое и вперед — назад; вращение вокруг оси правое — левое меняет знак координат вперед — назад и верх — низ; наконец, вращение вокруг оси вперед — назад меняет знак координат верх — низ и правое — левое. Поскольку система координат связана с наблюдателем, вращение наблюдателя не влияет на знаки координат частей его тела. Таким образом, если мы смотрим на себя в зеркало, стоя на голове, мы все равно ошибочно считаем, будто зеркало меняет местами правое и левое, потому что, перевернув себя, мы одновременно перевернули и систему координат.
После того как это письмо было опубликовано в Scientific American (май 1958 года), журнал получил следующее письмо от Р. С. Винера:
Уважаемая редакция!
Прочитав интересную заметку Тширги и Тэйлора по поводу того, почему зеркало меняет местами правое и левое и не может поменять верх и низ, я решил проверить некоторые их наблюдения.
Я повесил над платяным шкафом на стену напротив зеркала карту западной части Лонг-Айленда в проливе Саунд. Стоя на голове на полу перед зеркалом, я обнаружил, что не вижу всего отражения. Пара ног — вот единственное, что мне было видно. Одну из них я узнал. Это была нога, которую я обычно называю левой, и она закрывала часть местности вокруг Бридж-порта, в то время как вторая нога находилась в окрестностях Ист-Ривер. Затем я проделал эксперимент, надев пакет на «левую» ногу. Теперь пакет болтался в районе Бридж-порта. Эксперимент показался мне не совсем завершенным, поэтому я выдвинул из комнаты шкаф, снял со стены зеркало и поставил его на пол, прислонив к стене.
Я опять встал на голову перед зеркалом. Отражение двусторонне симметричного с виду существа, стоящего на голове с пакетом, надетым на ногу, так испугало меня, что я вообще прекратил эксперимент.
[Удивительно, как можно запутать простой вопрос. Мы просто привыкли любой вопрос принимать серьезно, не задумываясь над тем, имеет ли смысл сама его постановка.
Сказав, что зеркало меняет местами правое и левое, мы вообще не сказали ничего осмысленного. Если справа от зеркала было окно, то и я и мое отражение стоим к окну правым боком. Если под зеркалом есть пол, то и я и мое отражение стоим на полу, так что если смотреть на задачу с такой точки зрения, то никакого парадокса нет. Парадокс возникает только тогда, когда вы будете пытаться совместить себя с изображением. В обыденной жизни мы забываем о том, что сравнивать ориентацию можно, только совместив предметы в одном месте (и в одно время). Наше пространство так устроено, что мы можем переносить предметы параллельно самим себе и сравнивать их ориентацию. Именно так мы убеждаемся, что правая перчатка не совпадает с левой, а правый и левый носок не отличаются друг от друга. Сравнивать предметы на расстоянии не имеет смысла, если не проводить «в уме» операцию их совмещения. Мы привыкли еще и к тому, что в нашем пространстве тела можно поворачивать как угодно и они не будут превращаться из левого в правое или наоборот. Поэтому зеркальное изображение — новый элемент преобразования, которого нет в нашем мире. Но пусть к нам действительно пришел зеркальный человек, как бы мы его сравнили с собой? Подошли бы к нему, стали в затылок и увидели, что у него правая и левая стороны расположены наоборот. Ну а если этот зеркальный человек ходил бы еще вверх ногами? Тогда мы сказали бы, что у него переставлены верх и низ. В действительности оба утверждения тождественны, так как отличаются лишь на поворот в 180° относительно горизонтальной оси.