Когда мы сравниваем себя с изображением в зеркале, то мысленно заходим за зеркало и становимся в затылок изображению. Мы уверены, что по дороге нас никто не перевернет вверх ногами. Ну а если зеркало стоит не у стены, а прикреплено к потолку или к полу, что мы видим тогда? Поменялись ли местами голова и ноги или правое и левое? Еще раз подумайте, что надо сказать относительно вашего приятеля (не его изображения, а его самого), который стал перед вами на голову: у него поменялись (по сравнению с вами) одновременно и верх и низ и правое и левое. Вы, конечно, скажете, что у него ничего не поменялось — и будете правы: вращение ничего и не меняет. Таким образом, слова «поменялись верх и низ» или «поменялись правое и левое» означают то же самое. Почему же мы этого не видим на примере с зеркалом? Просто потому, что нам легче представить себе, что мы обошли зеркало сбоку, чем перелезли через него сверху и спустились вниз головой. Если вы стоите на зеркальном полу, то вам естественней думать, что поменялись верх и низ. Чтобы совсем себя запутать, подумайте, что будет, если вы ляжете на пол ногами к висячему зеркалу. Что теперь поменялось?
Таким образом, вопрос поставлен неправильно, отсюда и парадокс. Можно упростить опыт, и тогда парадокс исчезнет. Пусть на полу вертится бильярдный шар (вокруг своей вертикальной оси).
Закрутим рядом другой такой же шар, но в обратную сторону (он имитирует зеркальное изображение первого). Как лучше сказать о втором шаре: что у него представлено — верх и низ или правое и левое? Ясно, что это все равно.]
Глава 16. ПЯТЬ ПЛАТОНОВЫХ ТЕЛ
Правильным многоугольником называется ограниченная прямыми плоская фигура с равными сторонами и равными внутренними углами. Ясно, что таких фигур бесконечно много. Аналогом правильного многоугольника в трехмерном пространстве служит правильный многогранник: пространственная фигура с одинаковыми гранями, имеющими форму правильных многоугольников, и одинаковыми многогранными углами при вершинах. На первый взгляд может показаться, что многогранников также бесконечно много, но на самом деле их, как выразился однажды Льюис Кэрролл, «вызывающе мало». Существует лишь пять правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр (рис. 90).
Рис. 90 Пять Платоновых тел. Куб и октаэдр взаимны: если у одного из них попарно соединить отрезками прямых центры всех граней, имеющих общее ребро, то проведенные отрезки образуют ребра другого многогранника. Додекаэдр и икосаэдр также взаимны, а тетраэдр взаимен с самим собой (точнее, с другим, равным ему тетраэдром).
Первое систематическое исследование пяти правильных тел было, по-видимому, предпринято еще в глубокой древности пифагорейцами. Согласно их воззрениям, тетраэдр, куб, октаэдр и икосаэдр лежат в основе традиционных четырех элементов: огня, земли, воздуха и воды. Додекаэдр пифагорейцы по непонятным соображениям отождествляли со всей Вселенной. Поскольку взгляды пифагорейцев подробно изложены в диалоге Платона «Тимей», правильные многогранники принято называть Платоновыми телами. Красота и удивительные математические свойства пяти правильных тел неоднократно привлекали к себе внимание ученых и после Платона.
Анализ Платоновых тел является кульминационным пунктом заключительной книги «Элементов» Евклида. Иоганн Кеплер в юности считал, что расстояния между орбитами шести известных в его время планет можно получить, вписывая в определенном порядке пять правильных тел в орбиту Сатурна. В наши дни математики не приписывают Платоновым телам мистических свойств, а изучают свойства симметрии правильных многогранников методами теории групп. Платоновы тела играют заметную роль и в занимательной математике. Рассмотрим, хотя бы бегло, несколько связанных с ними задач.
Существуют четыре различных способа, как разрезать запечатанный конверт и сложить из него тетраэдр. Вот простейший из них. На обеих сторонах конверта (у одного и того же края) начерначертим равносторонний треугольник (рис. 91) и разрежем конверт по пунктирной прямой.
Рис. 91 Как разрезать запечатанный конверт, чтобы из него можно было сложить тетраэдр.
Правая его половина нам не нужна, а левую мы перегнем по сторонам нарисованного треугольника (на обеих сторонах конверта) и совместим точки А и В. Тетраэдр готов!
Головоломка, изображенная на рис. 92, также связана с тетраэдром. Развертку, изображенную на рис. 92 слева, можно вырезать из пластика или плотной бумаги. Сделайте две такие развертки.
Рис. 92 Развертка пространственной фигуры (слева). Из двух таких фигур (рисунок справа) можно составить тетраэдр.
(На чертеже все пунктирные линии, кроме одной, которая заметно длиннее других, имеют одинаковую длину.) Сложим развертку, перегнув ее по указанным на чертеже линиям. Грани, пересекающиеся между собой вдоль ребер, показанных на чертеже сплошной линией, склеим липкой лентой. В результате у нас получится геометрическое тело, показанное на рис. 92 справа. Из двух таких тел нужно попытаться сложить тетраэдр. Один мой знакомый математик любит приставать к своим друзьям с довольно плоской шуткой.
Он собирает из двух разверток две модельки, составляет из них тетраэдр и ставит его на стол, а третью развертку незаметно зажимает в руке. Затем ударом руки он расплющивает тетраэдр и в то же время кладет на стол третью развертку. Вполне очевидно, что его друзьям никак не удается собрать тетраэдр из трех блоков.
Из различных занимательных задач, связанных с кубом, я упомяну лишь головоломку с вычислением полного сопротивления электрической цепи, образованной ребрами проволочного куба, и тот удивительный факт, что куб может проходить через отверстие в меньшем кубе. В самом деле, стоит вам взять куб так, чтобы одна из его вершин была направлена прямо на вас, а ребра образовали правильный шестиугольник, как вы увидите, что в сечении, перпендикулярном лучу зрения, есть достаточно места для квадратного отверстия, которое чуть больше грани самого куба. В электрической головоломке речь идет о цепи, изображенной на рис. 93.
Рис. 93 Электрическая цепь-головоломка.
Сопротивление каждого ребра куба равно одному ому. Чему равно сопротивление всей цепи, если ток течет от Л к В? Инженеры-электрики извели немало бумаги, пытаясь решить эту задачу, хотя при надлежащем подходе найти ее решение совсем несложно.
Все пять Платоновых тел использовались в качестве игральных костей. После куба наибольшую популярность приобрели игральные кости в форме октаэдра. Как сделать такую кость, показано на рис. 94.
Рис. 94 Как сделать игральную кость в форме октаэдра.
Начертив и вырезав полоску и перенумеровав грани, ее перегибают вдоль ребер, а «открытые» ребра склеивают прозрачной лентой. Получается миниатюрный октаэдр. Сумма очков на противоположных гранях октаэдрической игральной кости, как и обычной кубической, равна семи. При желании с помощью новой кости вы можете показать забавный фокус с отгадыванием задуманного числа. Попросите кого-нибудь загадать любое число от 0 до 7. Положите октаэдр на стол так, чтобы загадавший мог видеть только грани с цифрами 1, 3, 5 и 7, и спросите, не видит ли он задуманного им числа. Если он отвечает утвердительно, вы запоминаете про себя число 1. Затем вы переворачиваете октаэдр так, чтобы загадавшему были видны грани с цифрами 2, 3, 6 и 7, и снова задаете тот же вопрос. На этот раз утвердительный ответ означает, что вы должны запомнить число 2. В третий (и последний раз) вы повторяете свой вопрос, повернув октаэдр так, чтобы загадавший мог видеть грани с цифрами 4, 5, б и 7. Утвердительный ответ в этом случае оценивается числом 4. Сложив оценки всех трех ответов, вы получите задуманное вашим приятелем число. Этот фокус без труда объяснит всякий, кто знаком с двоичной системой счисления. Чтобы легче было отыскать нужные положения октаэдра, как-нибудь пометьте три вершины, которые должны быть обращены к вам, когда вы стоите лицом к зрителю (задумавшему число).