Рис. 101 Одна из головоломок Дьюдени. Как разрезать равносторонний треугольник, чтобы из его частей можно было составить квадрат?
Разделим стороны АВ и ВС пополам в точках D и Е. На продолжении отрезка АЕ за точку Е отложим отрезок EF, равный ЕВ. Разделив отрезок AF пополам, опишем дугу AHF с центром в точке G — середине отрезка AF. Продолжим сторону СВ за вершину В до пересечения с проведенной только что дугой в точке Н. Из точки Е как из центра опишем дугу HJ.
На стороне АС отложим отрезок JK равный BE. Из точек D и К опустим перпендикуляры на EJ. Их основания обозначим через L и М. В правом верхнем углу на рис. 101 показано, как следует расположить части треугольника, чтобы составить из них идеальный квадрат. Если получившиеся при разрезании четыре фигуры скрепить между собой в трех вершинах так, как показано на рис. 101 внизу, то они образуют цепочку, которая при складывании по часовой стрелке даст треугольник, а при складывании против часовой стрелки — квадрат. Выступая в 1905 году с докладом о своей задаче перед Лондонским Королевским обществом, Дьюдени демонстрировал решение на модели из красного дерева с бронзовыми шарнирами.
Теорема, впервые доказанная известным немецким математиком Давидом Гильбертом, утверждает, что любой многоугольник, если разрезать его на конечное число частей, можно превратить в любой другой многоугольник, равновеликий первому. Доказательство этой теоремы длинно, но несложно. Оно основано на двух фактах:
1) всякий многоугольник при разрезании его по диагоналям распадается на конечное число треугольников;
2) всякий треугольник можно разрезать на конечное число частей, из которых можно составить прямоугольник с заранее заданным основанием. Это означает, что любой многоугольник самой причудливой формы мы всегда можем превратить в прямоугольник с заданным основанием, если проделаем три операции: разрежем исходный многоугольник на треугольники; разрежем треугольники на части, сложив из этих частей прямоугольники с заданным основанием, равновеликие треугольникам; наконец, прямоугольники с одинаковым (заданным) основанием объединим в один большой прямоугольник с тем же основанием. Производя названные три операции в обратном порядке, мы сможем превратить построенный большой прямоугольник в любой другой равновеликий ему многоугольник.
Совершенно неожиданным является тот факт, что аналогичной теоремы для многогранников — объемных тел, ограниченных плоскими многоугольниками, — не существует. Не существует также и общего метода, который позволил бы нам рассечь плоскостями любой многогранник так, чтобы из получившихся частей можно было сложить любой другой многогранник равного объема, хотя в отдельных частных случаях эта задача вполне разрешима. От надежды найти общий метод пришлось отказаться еще в 1900 году, когда было доказано, что призму нельзя рассечь так, чтобы из ее частей можно было составить равный по объему тетраэдр.
Хотя метод Гильберта гарантирует возможность превращения одного многоугольника в другой с помощью конечного числа разрезов, число получающихся при этом частей может быть очень велико. Изящное решение предполагает использование минимального числа частей. Найти такой минимум часто бывает весьма трудно.
В тонком искусстве геометрических построений Дьюдени неизменно сопутствовал успех, и ему часто удавалось улучшать рекорды, незыблемо державшиеся в течение долгих лет. Например, долгое время считали, что превратить правильный пятиугольник в квадрат можно лишь в том случае, если мы разрежем пятиугольник по крайней мере на семь частей, хотя для превращения в квадрат правильного шестиугольника его достаточно разрезать на пять частей.
Дьюдени удалось превратить правильный пятиугольник в квадрат, разрезав его всего лишь на шесть частей. Этот рекорд остается непревзойденным и поныне. Решение Дьюдени показано на рис. 102.
Рис. 102 Как составить квадрат из разрезанного пятиугольника.
Если кто-нибудь заинтересуется тем, каким образом Дьюдени напал на свой метод, ему следует обратиться к его книге ««Математические забавы».[37]
Наиболее известная головоломка Дьюдени — задача о пауке и мухе — представляет собой элементарную, но весьма изящную задачу из геометрии геодезических.[38] Впервые она была опубликована в 1903 году в одной английской газете, но внимание широкой публики привлекла лишь два года спустя, после того как ее перепечатала лондонская газета «Дейли мейл». Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда, размеры которого указаны на рис. 103.
Рис. 103 Задача о пауке и мухе.
Посредине боковой стены на расстоянии одного фута от потолка сидит паук. Посредине противоположной стены на высоте одного фута от пола сидит муха. От страха у нее отнялись ноги, и она не может двинуться с места. Спрашивается, каково кратчайшее расстояние, которое должен преодолеть паук для того, чтобы схватить муху?
Для решения задачи нужно построить развертку граней прямоугольного параллелепипеда и провести на ней прямую от местонахождения паука к точке, в которой сидит муха. Поскольку построить развертку можно многими способами, найти кратчайшее расстояние не так легко, как кажется на первый взгляд.
В менее известной задаче Дьюдени, также связанной с построением геодезической, речь идет о цилиндрическом стакане (рис. 104), имеющем четыре дюйма в высоту и шесть дюймов по окружности.
Рис. 104 Задача о мухе и капле меда.
Внутри него на расстоянии одного дюйма от верхнего края на стенке имеется капелька меда. Снаружи на стенке, прямо против капельки, на расстоянии одного дюйма от дна стакана сидит муха.
Каков кратчайший путь мухи к меду? Какое расстояние должна пройти муха, следуя кратчайшим путем к любимому лакомству?
Интересно отметить, что, хотя Дьюдени был мало знаком с топологией, в его время еще только начинавшей развиваться, при решении различных головоломок, связанных с отысканием кратчайших путей или размещением фигур на шахматной доске, он нередко пользовался остроумными топологическими приемами. Одним из таких приемов является его «метод нити и пуговиц». Сущность этого метода хорошо можно понять на примере старинной шахматной задачи, изображенной на рис. 105.
Рис. 105 Изобретенный Дьюдени «метод нити и пуговиц».
Как поменять местами черных и белых коней за наименьшее число ходов? Заменим восемь внешних квадратов доски восемью пуговицами, а все возможные ходы каждого коня отметим прямыми, соединяющими начальную и конечную позиции (на рис. 105 это показано на средней схеме). Представим себе теперь, что эти прямые — не что иное, как нити, связывающие пуговицы. Очевидно, что эти нити, не меняя топологической структуры и связности схемы, можно распутать и расположить говицы по окружности (на рис. 105 такое расположение показано внизу). Теперь сразу видно, что для решения задачи нужно лишь, записывая ходы (чтобы потом воспроизвести их на шахматной доске), переставлять коней в любом направлении по кругу до тех пор, пока они не поменяются местами. То, что поначалу казалось сложным, «метод нити и пуговиц» делает до смешного простым.
38
Дать в нескольких словах простое и строгое определение геодезической довольно трудно. Обычно (хотя это и не совсем верно) геодезическими называют кратчайшие линии на поверхности. Более подробно о геодезических можно прочитать в брошюрах