В общем случае четырехзначное число abed представимо в виде
(а ∙ 999) + (Ь ∙ 99) + (с ∙ 9) + (d ∙ 0) + а + Ь + с + d,
и поэтому после вычеркивания чисел, кратных 9, должна оставаться сумма a+b+c+d. Разумеется, эта сумма не обязательно должна выражаться однозначным числом, но, записав ее так же, как исходное число, и вычеркнув все кратные 9, мы всегда можем найти ее остаток при делении на 9 и т. д. до тех пор, пока не получим однозначное число — цифровой корень. Сказанное справедливо для любого числа, как бы велико оно ни было. Поэтому цифровой корень — это число, которое остается после того, как из исходного числа вычеркнуто максимальное число девяток, то есть после деления исходного числа на 9.
Цифровые корни часто используют для того, чтобы убедиться, что какое-нибудь очень большое число не является совершенным квадратом или кубом. Все квадраты имеют цифровые корни 1, 4, 7 или 9, а их последними цифрами могут быть 2, 3, 7 или 8. Кубы могут оканчиваться на любую цифру, но их цифровыми корнями могут быть только 1, 8 или 9. Самое любопытное, что четные совершенные числа (а до сих пор не было найдено ни одного нечетного совершенного числа) должны оканчиваться цифрой 6 или 8. Если отбросить наименьшее совершенное число 6, то у всех остальных совершенных чисел цифровой корень равен 1.
Ответы
Если при игре в кости число, до которого ведется счет, выбирает первый игрок, то ему лучше всего остановить свой выбор на каком-нибудь числе с цифровым корнем, равным 7. Как следует из приведенной здесь таблицы, именно при 7 выигрыш первого игрока обеспечен (при правильной игре) в трех случаях из шести возможных, то есть с вероятностью 1/2 при первом бросании на кости выпадает столько очков, сколько нужно первому игроку для выигрыша. При всех других цифровых остатках шансы первого игрока на победу хуже.
Глава 20. ДЕВЯТЬ ЗАДАЧ
1. Сцепленные болты. Два одинаковых болта сцеплены нарезкой (рис. 109).
Рис. 109 Сцепленные болты.
Взяв их покрепче за головки, чтобы они не могли проворачиваться, обведите несколько раз один болт вокруг другого в направлении, указанном стрелками (повертев перед этим большими пальцами рук, вы сможете наглядно представить себе движение болтов).
Будут ли головки болтов: а) сближаться, б) расходиться или в) оставаться на неизменном расстоянии друг от друга?
Использовать при решении задачи настоящие болты не разрешается.
2. Кругосветный полет. Группа самолетов базируется на небольшом острове. Баки каждого самолета вмещают столько топлива, что его хватает на облет половины земного шара. При заправке в воздухе из баков одного самолета в баки другого можно перекачивать любое количество горючего. На земле заправку можно производить только на острове. Для удобства решения задачи предполагается, что заправка на земле и в воздухе происходит мгновенно, бех потерь времени.
Чему равно минимальное число самолетов, которые смогут обеспечить полет одного самолета по большому кругу, если считать, что скорость и расход топлива у всех самолетов одинаковы и все самолеты благополучно возвращаются на свою базу?
3. Окружность на шахматной доске. Сторона клетки на шахматной доске 4 см. Чему равен радиус наибольшей окружности, которую можно провести на шахматной доске так, чтобы она проходила только по черным клеткам?
4. Универсальная пробка. Во многих сборниках головоломок объясняется, как вырезать пробку, которой можно плотно заткнуть квадратное, круглое и треугольное отверстия (рис. 110).
Рис. 110 Универсальная пробка.
Не менее интересно вычислить объем такой пробки. Предположим, что радиус ее круглого основания равен единице длины, а высота — двум единицам и что ребро в ее верхней части (имеющее в длину также две единицы) расположено строго над одним из диаметров основания и параллельно ему. Все параллельные сечения пробки, плоскость которых перпендикулярна верхнему ребру, имеют вид треугольников.
Поверхность пробки можно рассматривать как образованную прямыми, соединяющими точки верхнего, прямолинейного и нижнего, имеющего форму окружности, ребер. Каждая прямая параллельна одной из плоскостей, перпендикулярных верхнему ребру.
Разумеется, объем пробки нетрудно вычислить методами анализа, но найти его можно и более простым способом, зная лишь, что объем прямого цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.
5. Повторяющееся число. Если у вас соберутся гости, вы сможете удивить их необычным фокусом. Попросите одного из гостей — назовем его А — написать на листке бумаги какое-нибудь трехзначное число два раза подряд, чтобы получилось шестизначное число (например 394 394). Отвернитесь так, чтобы вы не могли видеть написанное число, и попросите А передать листок другому гостю, В, которого попросите разделить число на 7.
«Об остатке не беспокойтесь, его не будет», — говорите вы гостю В, и он с удивлением убеждается, что вы правы (например, 394 394 при делении на 7 дает 56 342). Не сообщая вам результат, В передает листок бумаги третьему гостю, С, который делит полученный В результат на 11. Вы снова утверждаете, что остатка не будет, и снова оказываетесь правы (56 342 при делении на 11 дает 5122).
Не оборачиваясь к гостям и не зная, какие цифры написаны на листке бумаги, вы просите передать его четвертому гостю, D, который должен поделить последний результат на 13. Снова деление происходит без остатка (5122 при делении на 13 дает 394). Окончательный результат D записывает на клочке бумаги и, сложив его, передает вам. Не разворачивая листка с ответом, вы передаете его А и говорите: «Разверните листок и вы увидите свое трехзначное число».
Докажите, что фокус получается всегда, независимо от того, какое число выберет первый гость.
6. Столкновение ракет. Две ракеты летят навстречу друг другу, одна — со скоростью 9000 миль/час, а другая — со скоростью 21 000 миль/час. Их стартовые площадки находятся на расстоянии 1317 миль одна от другой. Не пользуясь карандашом и бумагой, подсчитайте, какое расстояние будет между ракетами за минуту до столкновения.
7. Как передвинуть монеты. На ровной гладкой поверхности (например на столе) выложен треугольник из шести монет (рис. 111).
Рис. 111 Как передвинуть монеты?
Требуется за наименьшее число ходов передвинуть монеты так, чтобы они образовали кольцо, показанное на рис. 111. Каждый ход состоит в передвижении только одной монеты. Сдвигать при этом с места другие монеты нельзя. В новом положении каждая монета должна касаться двух других монет. Поднимать монеты с поверхности при решении задачи не разрешается.
8. Рукопожатия и графы. Докажите, что число участников последнего конгресса биофизиков, обменявшихся рукопожатиями нечетное число раз, четно. Та же задача допускает и графическую интерпретацию. На листке бумаги поставьте любое число точек (каждая точка изображает участника конгресса). Между любыми двумя точками разрешается проводить сколько угодно линий. Каждая точка может неограниченное число раз «обмениваться рукопожатиями» с другими точками или быть необщительной и не здороваться ни с кем. Докажите, что число точек, из которых исходит нечетное число линий, четно.
9. Необычная дуэль. Смит, Браун и Джонс, решив внести в обычную дуэль на пистолетах некоторое разнообразие, условились провести поединок по несколько измененным правилам. Вытащив жребий и узнав, кому из них выпало стрелять первым, кому — вторым и кому — третьим, они разошлись по своим местам, встав в вершинах равностороннего треугольника. Договорились, что каждый по очереди производит лишь один выстрел и может целиться в кого угодно. Дуэль продолжается до тех пор, пока не будут убиты любые два ее участника. Очередность стрельбы определяется только результатами жеребьевки и остается неизменной в течение всего поединка.