Этот же подход к задаче позволяет сразу же дать общее решение для случая п моряков, каждый из которых, разделив лежащие перед ним орехи на п равных частей, берет себе одну n-ю. Когда моряков четверо, мы начинаем с —3 кокосовых орехов и прибавляем 45. Если моряков шестеро, мы начинаем с —5 орехов и прибавляем 67. Аналогично можно поступать и при других значениях n.
Рассуждая более формально, можно записать, что первоначальное число кокосовых орехов равно k(nn+1) — m(n — 1), где n — число людей, m — число орехов, отдаваемых мартышке при каждом разделе, а k — произвольное целое число, называемое параметром.
Когда n = 5, а m = 1, наименьшее положительное решение (в целых числах) мы получим, положив параметр к равным 1.
К сожалению, столь необычный метод решения неприменим к тому варианту задачи, который приводится в рассказе Уильямса, когда при последнем разделе орехов мартышка не получает ничего. Найти решение для этого случая я предоставляю тем читателям, которых это интересует. Разумеется, его можно найти с помощью обычных методов решения диофантовых уравнений, однако можно намного быстрее прийти к ответу, воспользовавшись тем, что уже известно из только что разобранного варианта. Для тех, кто находит, что и это слишком трудно, приводим очень простую задачу о кокосовых орехах, свободную от всех трудностей решения диофантовых уравнений.
Три моряка, бродя по острову, нашли кучу кокосовых орехов.
Первый из них взял себе половину всех орехов и еще пол-ореха, второй — половину того, что осталось, и еще пол-ореха, и, наконец, третий также взял половину остатка и еще пол-ореха. Остался ровно один орех, который они и отдали мартышке. Сколько орехов было в куче, когда моряки набрели на нее? Вооружившись 20 спичками, вы получите удобный материал для решения задачи путем подбора (методом проб и ошибок).
* * *
Если использование «отрицательных» кокосовых орехов для решения старого варианта задачи Уильямса кажется не вполне законным, то по существу тот же самый трюк молено проделать, выкрасив четыре кокосовых ореха в синий цвет. Впервые раскрашивание как способ решения задачи было открыто еще в 1912 году профессором Н. Эннингом. В его задаче 3 человека делили между собой яблоки. Применительно к задаче о кокосовых орехах способ Эннинга заключается в следующем.
Начнем с 56 орехов. Это наименьшее число орехов, которое можно разделить на пять равных частей, забрать одну пятую и повторить этот процесс шесть раз подряд, не отдавая ни одного ореха мартышке. Окрасим четыре из 56 орехов в синий цвет и отложим их в сторону. Разделим оставшееся количество орехов на пять одинаковых частей, мы получим один лишний орех, который достанется мартышке.
После того как первый моряк возьмет свою долю, а мартышка получит свой орех, вернем четыре синих ореха в общую кучу, в которой будет 56 орехов. Это число, очевидно, делится на 5 нацело.
Однако, прежде чем производить деление, отложим снова четыре синих ореха в сторону. Тогда, вторично разделив орехи на пять равных кучек, мы снова обнаружим один лишний орех и отдадим его мартышке.
Эта процедура — прибавление синих орехов только для того, чтобы убедиться, что число орехов в очередной куче нацело делится на 5, и последующее откладывание их в сторону — повторяется каждый раз. Выполнив ее в шестой и последний раз, мы увидим, что синие орехи остались лежать в стороне. Они не достались никому. В наших манипуляциях с орехами они не играют особо важной роли, не помогают нам лучше понимать то, что при этом происходит.
Тем, кого интересует стандартный метод решения диофантовых уравнений первой степени с помощью непрерывных дробей, можно порекомендовать четкое изложение этого метода в книге Элен Меррил.[45] Его полезно знать всем любителям занимательных задач, поскольку многие известные головоломки основаны на уравнениях именно такого типа (см., например, задачу 8 в главе 29). Существуют и другие, весьма разнообразные методы решения задачи о кокосовых орехах, в частности один из методов использует числовую систему с основанием 5, но все они слишком сложны для того, чтобы на них стоило останавливаться.
Ответы
Число кокосовых орехов в принадлежащем Уильямсу варианте задачи равно 3121. Из разбора старой задачи известно, что 54 — 4 = 3121 есть наименьшее число орехов, которое можно пять раз делить на пять равных долей, отдавая при каждом делении один кокосовый орех мартышке. После пятикратного деления останется 1020 орехов. Это число делится на 5 нацело, что и позволяет произвести шестое деление на пять равных частей так, чтобы обезьяна не получила ни одного ореха.
В этом варианте задачи более общее решение записывается в виде двух диофантовых уравнений. При нечетном числе людей n следует брать уравнение
Число кокосовых орехов = (1 + nk)nn — (n — 1),
при четном —
Число кокосовых орехов = (n — 1+nk)nn — (n — 1).
Величина к и в том и в другом уравнении означает параметр, который может принимать любые целые значения. В задаче Уильямса число людей равно 5 (нечетное число), следовательно, 5 следует подставить вместо п в первое уравнение. Чтобы получить наименьшее положительное решение, параметр к следует выбрать равным 0.
Более простая задача о трех моряках, помещенная в конце главы, имеет ответ: 15 кокосовых орехов. Если вы попытаетесь решать ее, разламывая спички на две половины, чтобы обозначить половинки кокосовых орехов, то у вас может сложиться впечатление, что задача вообще неразрешима. На самом деле для того, чтобы выполнить все указанные в условии задачи операции, разбивать кокосовые орехи совсем не нужно.
Глава 25. ЛАБИРИНТЫ
В одном из древнегреческих мифов рассказывается о единоборстве юного Тезея с чудовищем Минотавром, обитавшим в кносском лабиринте на Крите. Выбраться из лабиринта Тезею помог клубок ниток, подаренный ему Ариадной. Лабиринты — архитектурные сооружения со сложными коридорами, которые строились для того, чтобы приводить в трепет непосвященных, — в древнем мире отнюдь не были редкостью. Геродот описывает египетский лабиринт, в котором было 3000 комнат. Довольно простой лабиринт изображен на монетах из Кносса; более сложные узоры в виде лабиринтов встречаются в рисунках римских мостовых и на одеждах древнеримских императоров. Такими же узорами украшали стены и полы многих соборов континентальной Европы во времена средневековья.
В Англии самым знаменитым архитектурным лабиринтом была беседка Розамунды. Повторно она была построена в вудстокском парке в XII веке королем Генрихом II, который попытался спрятать в этом лабиринте возлюбленную Розамунду Прекрасную от своей супруги Элеоноры Аквитанской. Предание рассказывает, что нить Ариадны помогла Элеоноре проникнуть в центр лабиринта, где ослепленная ревностью королева заставила несчастную Розамунду принять яд. Легенда эта поразила воображение многих авторов. На ее сюжет написал оперу Эддисон, а драматическая поэма Суинберна «Розамунда» представляет собой, по-видимому, наиболее впечатляющую версию.
Любопытно, что в Англии не принят распространенный на европейском континенте обычай украшать полы соборов мозаичными лабиринтами. Вместо этого англичане часто выкладывали лабиринты из дерна рядом с церковью. Прохождение такого лабиринта как бы являлось частью религиозного ритуала. Эти «причудливые лабиринты в пышной зелени», как назвал их Шекспир, были широко распространены в Англии вплоть до XVIII века. Садовые лабиринты из высоких кустарников, предназначенные исключительно для развлечений, вошли в моду в эпоху позднего Возрождения. В Англии самый известный лабиринт из живых изгородей, через который и по сей день пытаются отыскать путь сконфуженные туристы, был сооружен в 1690 году при дворце Вильгельма Оранского в Хэмптон-Корте. План этого лабиринта в его современном виде показан на рис. 136.
45