«Порядком» магического квадрата называется число клеток, примыкающих к его стороне (безразлично, к какой именно). Магических квадратов порядка 2 не существует, а порядка 3 существует только один (если не считать магических квадратов, получающихся из него при поворотах и отражениях). Запомнить единственный магический квадрат третьего порядка нетрудно. Сначала впишем во все клетки квадрата цифры в том порядке, как показано на рис. 141 слева, затем поменяем местами цифры, стоящие на противоположных концах главных диагоналей (эта операция на рисунке показана стрелками).
Рис. 141 Как построить талисман ло-шу.
В результате мы получим магический квадрат (рис. 141 справа), постоянная которого (то есть сумма чисел, стоящих в любой строке, в любом столбце и на каждой из главных диагоналей) равна 15. (Постоянная всегда равна полусумме n3 и n, где n — порядок магического квадрата.) В Китае, где этот магический квадрат называют ло-шу, он издавна считается талисманом.
И по сей день его можно увидеть на амулетах, которые носят в Восточной Азии и в Индии, а также на многих больших пассажирских судах, где он украшает крышки столиков для карточных игр.
Как только мы переходим к порядку 4, сложность магических квадратов резко возрастает. Если и на этот раз не считать различными квадраты, которые можно перевести друг в друга поворотами и отражениями, то различных магических квадратов будет ровно 880 типов, причем многие из них будут даже «более магическими», чем это требуется по определению магического квадрата. Одну из интересных разновидностей квадратов, известных под названием симметричных, можно увидеть на знаменитой гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия» (рис. 142).
Рис. 142 Альбрехт Дюрер. «Меланхолия». В верхнем углу справа — магический квадрат.
Дюрер никогда не объяснял богатую символику своего шедевра, но многие авторитеты сходятся во мнении, что гравюра изображает мрачное настроение мыслителя, не способного решиться на действие. В эпоху Возрождения меланхолический темперамент считался свойственным творческому гению, он был уделом ученых мужей, «чья бледность — печать глубоких мыслей». (Представление о том, что блестящий интеллект не способен, подобно Гамлету, принять решение, бытует и поныне.)
На гравюре Дюрера инструменты науки и плотницкого ремесла в праздном беспорядке лежат у ног погруженной в глубокое раздумье фигуры Меланхолии. Пусты чаши весов, никто не взбирается по лестнице, спящая борзая полумертва от голода, крылатый херувим приготовился записывать, но Меланхолия безмолвствует, а время, отмеряемое песочными часами, все бежит. Деревянный шар и причудливо усеченный каменный тетраэдр символизируют математическую основу строительного искусства. Вся сцена, по-видимому, залита лунным светом. Лунная радуга, изогнувшаяся над чем-то вроде кометы, скорее всего, означает надежду на то, что мрачное настроение рассеется.
Джиорджио де Сантильяна в своей книге «Век приключения» усмотрел в этой картине «загадочную и удивительную паузу человеческого разума эпохи Возрождения накануне невиданного расцвета науки». Джеймс Томсон завершает свою замечательную поэму «Город ужасной ночи», выдержанную в пессимистических тонах, описанием именно такого настроения, которое создает гравюра Дюрера, видя в нем «еще одно проявление все того же отчаяния»:
Астрологи эпохи Возрождения связывали магические квадраты четвертого порядка с Юпитером. Такие квадраты считались действенным средством от меланхолии (поскольку покровитель меланхоликов Сатурн и Юпитер, если верить астрологам, враждовали между собой). Вот поэтому в правом верхнем углу гравюры Дюрера изображен магический квадрат именно четвертого порядка (см. рис. 146). Дюреровский квадрат симметричен, так как сумма любых двух входящих в него чисел, расположенных симметрично относительно его центра, равна 17. Это обстоятельство позволяет выделить в квадрате много групп из четырех чисел помимо строк, столбцов и главных диагоналей, сумма которых также равна постоянной квадрата, то есть 34. Таковы, например, четыре числа, расположенные в вершинах квадрата, четыре числа в центре квадрата и четыре числа в каждом из маленьких квадратов размером 2x2, расположенных в углах большого квадрата.
Существует до смешного простой способ построения таких квадратов. Стоит лишь взять квадрат, разделить его на 16 клеток и в каждую из них по порядку вписать числа от 1 до 16, а затем поменять местами числа, расположенные на главных диагоналях симметрично относительно центра, и симметричный магический квадрат готов. Дюрер переставил у своего квадрата два средних столбца (что не повлияло на свойства квадрата) так, что числа в двух средних клетках нижней строки стали указывать дату создания гравюры.
Древнейший из дошедших до нас квадратов четвертого порядка был обнаружен в надписи XI или XII века, найденной в Кхаджурахо (Индия). Он показан на рис. 143 вверху.
Рис. 143 «Дьявольский» тор.
Этот магический квадрат относится к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов (или «пандиагональных», или «насик» еще более удивительных, чем симметричные. Помимо обычных свойств, дьявольские квадраты являются магическими по всем «ломаным диагоналям».
Например, числа 2,12,15 и 5, а также 2, 3,15 и 14 стоят на ломаных диагоналях, которые можно восстановить, поставив рядом два одинаковых квадрата. Дьявольский квадрат останется дьявольским, если его верхнюю строку переставить вниз или, наоборот, нижнюю строку поместить наверх, а также если вычеркнуть последний столбец справа или слева и приписать его к квадрату с протипоказана на рис. 144.
Рис. 144 Одно из пяти преобразований, сохраняющих «дьявольские» свойства «дьявольского» квадрата.
Комбинируя эти пять преобразований, можно получить 48 основных типов дьявольских квадратов (если считать, что к допустимым преобразованиям относятся повороты и отражения, то число типов возрастет до 384). Как показали Россер и Уокер, эти преобразования образуют «группу» (то есть некую абстрактную структуру, обладающую определенными свойствами), совпадающую с группой преобразований гиперкуба (четырехмерного куба) в себя.
Связь между дьявольскими квадратами и гиперкубами нетрудно усмотреть., если 16 клеток квадрата сопоставить с 16 вершинами гиперкуба. Соответствие между клетками и вершинами можно показать на хорошо знакомой двумерной проекции гиперкуба (рис. 145).
Рис. 145 «Дьявольский» гиперкуб и один из его 384 «дьявольских» квадратов.