8. Пусть x — число долларов, а у — число центов в той сумме, на которую мистер Браун выписал чек. Условие задачи можно записать в виде уравнения
100y + x — 5 = 2(100x + y),
или, что то же самое,
99y — 199x = 5
Это диофантово уравнение, имеющее бесконечно много решений в целых числах. Обычный метод решения с помощью непрерывных дробей дает наименьший ответ в положительных целых числах х = 31, у = 63. Следовательно, мистер Браун выписал чек на сумму 31 доллар 63 цента. Это единственный ответ задачи, поскольку ближайшее к найденному решение х = 129, у = 262 не удовлетворяет требованию: у должен быть меньше 100.[51]
Однако существует гораздо более простой подход к решению.
Пусть, как и прежде, х означает число долларов, а у — число центов. После покупки газеты у Брауна осталось денег 2х + 2у. При этом из х центов, выплаченных ему кассиром, у него осталось х-5 центов.
Мы знаем, что у меньше 100, но мы не можем сказать с уверенностью, будет ли у меньше 50 центов. Если это так, то мы вправе записать уравнения
2x = y
2y = x-5
Если у равен 50 или большему количеству центов, то после покупки газеты у Брауна останется 2у центов, что больше или равно числу оставшихся у него долларов. Поэтому в написанные нами уравнения в этом случае необходимо внести некоторые изменения:
из 2у вычесть 100 и прибавить 1 к 2х. Уравнения примут вид
2x+1 = y
2y-100 = x-5
Каждая из систем уравнений легко решается. Первая система приводит к отрицательному значению х, что исключается. Вторая дает правильный ответ.
9. Независимо от того, сколько вина в одном сосуде и сколько воды в другом, а также от того, сколько жидкости переносится из сосуда в сосуд за один раз (за исключением единственного случая, когда в одном из сосудов вообще нет жидкости), достичь равенства процентного содержания вина в обеих смесях невозможно. Это нетрудно доказать с помощью простого рассуждения по индукции.
Если в сосуде А содержится вино более высокой концентрации, чем в сосуде В, то и после того, как мы отольем часть жидкости из А в В, в А останется вино более высокой концентрации. Точно так же, переливая вино из В в А, то есть из сосуда с вином низкой концентрации в сосуд с вином более высокой концентрации, мы заведомо оставляем в В вино более низкой по сравнению с А концентрации.
Так как при каждом переливании могут представляться только эти два случая, то в сосуде А всегда будет смесь с более высоким процентным содержанием вина, чем в В. Единственный способ уравнивания концентраций заключается в том, чтобы полностью перелить содержимое одного из сосудов в другой.
Только что приведенное решение исходит из неверного допущения: оно предполагает, что жидкости бесконечно делимы, в то время как они состоят из дискретных молекул. На это указал мне в своем письме один из читателей.
Сэр!
Ваше решение задачи о смешивании вина и воды явно игнорирует физическую природу рассматриваемых объектов. Когда из смеси двух жидкостей берут пробу, то относительное количество одной из жидкостей в пробе будет отличаться от относительного количества той оке жидкости в смеси. Отклонение от «правильного» относительного количества будет порядка
, где n — число молекул интересующей нас жидкости.
Следовательно, уравнять концентрации вина в двух сосудах можно. Вероятность выравнивания концентраций становится заметно отличной от нуля после того, как неравенство концентраций понижается до величины порядка у/п. Для этого необходимо произвести лишь 47 двойных переливаний, о которых говорится в условии задачи…
Глава 30. ИНДУКТИВНАЯ ИГРА ЭЛУЗИС
В большинстве математических игр, начиная с игры в крестики и нолики и кончая шахматами, от играющего требуется умение мыслить индуктивно. Совсем иные требования предъявляет элузис — замечательная карточная игра, изобретенная Робертом Эбботом.
Этот писатель из Нью-Йорка известен как создатель многих карточных и настольных игр, но элузис вызывает не только у математиков, но и у других ученых особый интерес. Дело в том, что игра элузис во многом напоминает исследование законов природы и позволяет тем, кто в нее играет, развивать интуицию, способность угадывать скрытые закономерности, то есть именно те качества, которыми и объясняются «внезапные озарения» и «наития», переживаемые творчески мыслящими личностями.
В элузис можно играть, когда соберется не меньше трех игроков. Для игры берут обычную[52] колоду игральных карт. Играющие сдают карты по очереди. Тот, кто должен сдавать карты, выполнив свою функцию, в дальнейшей игре активного участия не принимает и выступает лишь в роли наблюдателя или арбитра. Последнюю карту кладут посреди стола вверх картинкой. Это первая карта так называемого «исходного», или «начального», ряда. Для того чтобы никто из игроков не оказался обделенным и не получил меньше карт, чем другие, сдающий должен заранее подготовить колоду, изъяв из нее в случае необходимости лишние карты. Если играющих трое (имеются в виду все играющие, в том числе и тот, кто сдавал карты, хотя он не оставляет себе ни одной карты), то из колоды нужно заранее вынуть одну карту; при четырех играющих лишних карт нет; при пяти нужно вынуть три карты и т. д. Изъятые из колоды карты сдающий откладывает в сторону, не показывая их играющим.
После того как все карты сданы и первая карта «начального» ряда положена на свое место, сдающий втайне от остальных игроков задумывает правило, которого нужно придерживаться при выкладке карт в «исходном» ряду. Именно это правило и служит аналогом закона природы. В этом смысле, с точки зрения играющих, автор правила выступает в роли природы, или, если угодно, «всемогущего». Задуманное правило сдававший карты записывает на отдельном листке бумаги и, сложив его, откладывает в сторону.
Это нужно для того, чтобы по окончании игры ее участники могли убедиться в том, что «арбитр» во время игры не менял своего правила и не нарушал постоянства законов природы. Цель игры для каждого активного участника заключается в том, чтобы избавиться от как можно большего числа карт. Тому, кто правильно угадал записанное на листке правило, сделать это нетрудно.
Примером очень простого правила может служить хотя бы такое: «Если верхняя карта в исходном ряду красной масти, пойдите картой черной масти. Если же верхняя карта черной масти, пойдите картой красной масти». Начинающим, особенно на первых порах, следует ограничиваться как можно более простыми правилами и лишь постепенно, по мере развития у них навыков игры переходить к более сложным. Тонкий замысел изобретателя элузиса наделил эту игру замечательной особенностью, которая заключается в том, что способ подсчета очков (который будет разъяснен дальше) заставляет сдающего с осторожностью подходить к выбору правила: оно должно быть не очень простым, иначе все его быстро разгадают, и в то же время не слишком сложным, чтобы кто-нибудь из играющих мог додуматься до него раньше других, не слишком затягивая игру. В этой особенности элузиса нетрудно усмотреть еще одну приятную аналогию: фундаментальные законы физики трудно открыть, но, коль скоро они уже открыты, их обычно можно записать в виде сравнительно простых уравнений.
После того как правило записано, начинается первый этап игры.