Рис. 5. Начертание цифр почтового индекса:
а- элементы исходного множества; б — цифры.
15. Докажите, что для конечного множества, состоящего из n элементов, множество всех его подмножеств содержит 2n элементов.
16. Проверьте свойство транзитивности отношения включения на примере множеств X = {b, c}, Y = {a, b, c}, Z = {b}.
17. Дайте словесное описание каждому из следующих множеств:
а) {x|x — точка плоскости, находящаяся на расстоянии r от начала координат};
б) {x|x2 — 4x + 3 = 0};
в) {x|x — инженер нашего отдела};
г) {x|x ∈ A и z ∈ B }; A — множество транзисторов; В — множество деталей радиоприемника;
д) {x ∈ R |x = 3k, k ∈ N} N — множество натуральных чисел;
е) {x2 + 1 |x - целое число}
18. Покажите, что для любых множеств А и В справедливо соотношение ∅ ⊂ A ∩ B ⊂ A ∪ B
19. Покажите, что для любого множества А справедливы соотношения: A + A = ∅; A + ∅ = A.
20. Покажите, что из соотношения A ∩ B = C следует C ⊂ A и C ⊂ B.
21. Пусть M1 и M2 — соответственно множества деталей первого и второго механизмов, а Р — множество пластмассовых деталей. Запишите в виде теоретико-множественных соотношений следующие условия.
- 28 -
а) Среди деталей первого механизма имеются все пластмассовые детали.
б) Одинаковые детали, входящие в оба механизма, могут быть только пластмассовыми.
в) Во втором механизме нет пластмассовых деталей.
22. Является ли совокупность полученных в предыдущей задаче соотношений (Р ⊂ M1, M1 ∩ M2 ⊂ P, M2 ∩ P = ∅) непротиворечивой? Если да, то можно ли ее упростить? Для ответа на поставленные вопросы проведите сначала логические рассуждения, а затем воспользуйтесь кругами Эйлера. Сформулируйте выводы, соответствующие полученному результату.
23. Запишите множество упорядоченных пар (x, y), выражающих отношение «x — делитель y» на множестве целых чисел от 2 до 10 включительно. Является ли это отношение функцией? Обладает ли оно свойством транзитивности?
24. Запишите отношение между элементами множества цифр из задачи 13, выражающееся как «x имеет больше двух общих элементов с y».
25. Пусть x ∈ X, y ∈ Y и A — отношение между элементами множеств X и Y, выражаемое соотношением xAy. Укажите, в каких случаях А можно рассматривать как функцию:
а) X — множество студентов, Y - множество учебных дисциплин, xAy - «x изучает y»;
б) X - множество спортсменов, Y - рост в единицах длины, xAy - «x имеет рост y»;
в) X — множество компонентов электрической цепи, Y- множество узлов цепи, xAy - «x связан с y».
3. Матрицы
1. Матрица как таблица. Матрица – это совокупность чисел или объектов другой природы, расположенных в виде прямоугольной таблицы:
Такая таблица, состоящая из m строк и n столбцов, содержит mn клеток (позиций). При этом говорят, что матрица имеет размер m × n и ее называют ( m × n )-матрицей. Позиция на пересечении i -й строки и j -го столбца называется ij -клеткой.
Числа или любые другие объекты, расположенные в клетках таблицы, называют элементами матрицы. Положение элементов строго фиксировано: в каждой клетке должен располагаться только один элемент и ни одна клетка не должна оставаться свободной.
- 29 -
В общем обозначении элемента aij первый индекс i всегда указывает номер строки, а второй – номер столбца. Элемент, расположенный в ij -клетке, называют ij -элементом.
Матрица обозначается одной буквой (часто буквы, обозначающие матриц, набирают жирным шрифтом или снабжают какими-либо дополнительными символами). Однако независимо от принятого способа обозначения матрица всегда является совокупностью таблично упорядоченных элементов. Две матрицы равны, если и только если равны их соответствующие элементы, т.е. А = В при условии aij = bij (i = 1, 2, ... , n). Ясно, что сравнивать можно только матрицы одного и того же размера, между элементами которых определено отношение равенства.
Матрицы, элементами которых являются вещественные или комплексные числа, называют соответственно вещественными или комплексными. Пусть А — комплексная (m × n)-матрица с элементами aij = αij + iβij. Матрица A̅ того же размера с элементами a*ij = αij + iβij называется комплексно-сопряженной с А.