Умножение А на В допустимо (произведение АВ существует) если число столбцов А равно числу строк В ( в таких случаях говорят, что эти две матрицы согласуются по форме). Пример:
- 33 -
Для матриц A (m × n) и B(n × m) существует как произведение АВ размера m × m, так и произведение BA размера n × n. Ясно, что при m × n эти произведения не могут быть равными уже вследствие различных размеров результирующих матриц. Но даже при m = n, т.е. в случае квадратных матриц одинакового порядка, произведения АВ и ВА не обязательно равны между собой. Например, для матриц
имеем:
Отсюда следует, что вообще операция умножения матриц не подчиняется коммутативному закону (AB ≠ BA). Если же выполняется соотношение AB = BA, то матрицы А и В называю коммутирующими или перестановочными. Ассоциативный и дистрибутивный законы для матричного умножения выполняются во всех случаях, когда размеры матриц допускают соответствующие операции: (AB)C = A(BC) = ABC (ассоциативностью), A(B + C) = AB + AC и (A +B)C = AC +BC (дистрибутивность умножения слева и справа относительно сложения).
Умножение (m × n) — матрицы А на единичную матрицу m-го порядка слева и на единичную матрицу n-го порядка справа не изменяет этой матрицы, т.е. EmA = AEn = A. Если хотя бы одна из матриц произведения АВ является нулевой, то в результате получим нулевую матрицу.
Отметим, что из АВ = 0 не обязательно следует, что А = 0 или В = 0. В этом можно убедиться на следующем примере:
6. Транспонирование матрицы. Преобразование матрицы А, состоящее в замене строк столбцами ( или столбцов строками) при
- 34 -
сохранении их нумерации, называется транспонированием. Полученная в результате такого преобразования матрица называется транспонированной к матрице А и обозначается At или A':
Произвольная (m × n) — матрица при транспонировании становится ( n × m ) - матрицей, а элемент aij занимает ji — клетку, т.е. aij = atji.
Если матрица (квадратная) совпадает со своей транспонированной, т.е. A = At, то она называется симметричной и ее элементы связаны соотношением aij = aji (симметрия относительно главной диагонали). Матрица, для которой A = -At, называется кососимметричной, и ее элементы связаны соотношением aij = -aji . Она, как и симметричная матрица, всегда квадратная, но диагональные элементы равны нулю, т.е. aii = 0 (i = 1, 2, ..., n). Ниже приведены примеры симметричной и кососимметричной матриц:
Ясно, что не все элементы таких матриц могут быть выбраны произвольно. Можно убедиться, что из n2 элементов для симметричной матрицы независимыми могут быть только 1/2 n (n + 1), а для кососимметричной -1/2 n (n + 1) элементов.
- 35 -
Комплексно-сопряженная и транспонированная матрица (A)t называется сопряженной с А и обозначается A*. Матрица, равная своей сопряженной, т.е. A = (A̅)t = A*, называется эрмитовой. Если A = -(A̅)t, то А — косоэрмитова матрица.
Легко показать, что транспонирование произведения АВ равно произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке: (AB)t = BtAt. Дважды транспонированная матрица равна исходной, т.е. (At)t = A.
7. Матричная запись системы линейных уравнений. Первоначально матрицы были введены для упрощения записи систем линейных уравнений, что и обусловило и определение основных матричных операций. Система линейных уравнений:
записывается одним матричным равенством
Действительно, перемножив в правой части равенства ( m × n ) - матрицу на столбцевую матрицу, получим
- 36 -
Из равенства матриц-столбцов следуют равенства для соответствующих элементов, которые совпадают с исходной системой уравнений. Если обозначить
то матричное равенство запишется еще короче
y = Ax.
Такое представление системы линейных уравнений оказалось возможным благодаря правилу умножения матиц, которое наилучшим образом подходит для этой цели. Однако исторически дело обстояло как раз наоборот: правила действий над матрицами определялись, прежде всего, исходя из удобства представлений систем линейных уравнений.