- 40 -
Матрица, обратная произведению двух матриц, равна переставленному произведению матриц, обратных исходным, т.е. (AB)-1 = B-1A-1. Действительно, умножив обе части этого равенства на АВ, приходим тождеству E = B-1A-1(AB), так как B-1(A-1A)B = B-1EB = B-1B =E, где E — единичная матрица n-го порядка.
10. Блочные матрицы. Часто матрицу удобно разбить вертикальными и горизонтальными линиями на блоки которые являются матрицами меньших размеров и при выполнении операций рассматриваются как элементы исходных матриц. Операции над блочными матрицами выполняются по сформулированным выше правилам при условии, что эти операции допускаются размерами соответствующих матриц.
Пусть, например, матрицы А и В разбиты на блоки (жирными линиями) так, чтобы для соответствующих блоков имела смысл операция умножения, т.е.
По правилу умножения прямоугольных матриц можно записать:
Вычислим блоки C11 и C21 матрицы C:
- 41 -
В результате имеем
Конечно, тот же результат получается и при непосредственном перемножении матриц. Но разбиение на блоки позволяет оперировать с матрицами меньших размеров ( это бывает необходимо, например, когда не хватает места на бумаге или ячеек оперативной памяти машины) и особенно удобно, если можно выделить нулевые блоки.
Задачи и упражнения.
1. Любая матрица является прямоугольной таблицей. Справедливо ли обратное утверждение, т.е. можно ли считать всякую прямоугольную таблицу матрицей? Если нет,то какие дополнительные требования выдвигаются с позиций матричной алгебры?
2. Какие из приведенных ниже совокупностей объектов представляют собой матрицы:
3. Укажите, какие из приведенных ниже матриц являются равными между собой (при x=2)%
4. При каком значении x матрицы А и В равны:
5. Найти сумму А + В и разность А — В матриц:
6. Найти произведения АВ и ВА и сравнить полученные результаты для матриц:
- 42 -
7. Проверить дистрибутивность умножения слева А(В + С) = АВ + АС и справа (А + В)С = АС + ВС относительно сложения для следующих матриц:
8. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей
9. Каким условиям в общем случае должны удовлетворять элементы квадратных матиц А и В второго порядка, чтобы они были перестановочными (АВ = ВА)? Как выглядят эти условия для случая, когда А симметричная матрица?
10. При каких условиях справедливы матричные соотношения:
(A + B)2 = A2 + 2AB +B2; (A-B)(A+B) = A2 — B2?
11. Каким условиям должны удовлетворять элементы ненулевых квадратных матриц А и В, чтобы АВ = 0?
12. К каким типам относятся матрицы:
13. Построить транспонированную At, комплексно-сопряженную A̅ и сопряженную А* для матрицы
14. Показать, что матрица
является эрмитовой. Что можно сказать о диагональных элементах любой эрмитовой матрицы?
15. Какого типа должна быть квадратная матрица А, чтобы она была перестановочной с диагональной матрицей D того же порядка, т.е. чтобы AD = DA?
16. К какому типу относятся треугольные матрицы, если они кроме того: а) симметричные, б) кососимметричные?
17. Показать, что (A̅B̅) = A̅ B̅ и (AB)* = B* A*.
18. Проверить соотношение (AB)* = B*A* для матриц задачи 6в.
19. Показать, что произведение AAt существует для любой матрицы А и является симметричной матрицей.
- 43 -
20. Для заданных матриц найти обратные и проверить соотношение AA-1 = 1:
21. Найти матрицы, обратные заданным, и проверить соотношение (AB)-1 = B-1A-1:
22. Дана система уравнений:
Записать эту систему в матричной форме Ax = q, вычислить обратную матрицу А-1 и записать решение системы.
23. Зависимости между токами и напряжениями четырехполюсника (рис. 6, а) можно представить одной из систем уравнений:
