из х ∨ x̅ = 1 по закону коммутативности следует x̅ ∨ x = 1, откуда сравнением с 
= 1 имеем х = 
.
Интересно доказательство закона де Моргана. На основании свойств отрицания равенство функций x̅ ̅∨̅ ̅y̅ и x̅ ∧ y̅ должно означать, что
(х ∨ у) ∨ ( x̅ ∧ y̅ ) = 1 и (х ∨ у) ∨ ( x̅ ∧ y̅ ) = 0.
Действительно,
(х ∨ у) ∨ ( x̅ ∧ y̅ ) = ((х ∨ у) ∨ x̅ ) ∧ ((х ∨ у) ∨ y̅ ) = (( x ∧ x̅ ) ∨ y ) ∧ (x ∨ (y ∨ y̅ )) =
= (1 ∨ y) ∧ (x ∨ 1) = 1 ∧ 1 = 1, а также
(х ∨ у) ∧ ( x̅ ∧ y̅ ) = (х ∧ ∨ ( x̅ ∧ y̅ ) = (у ∧ ( x̅ ∧ y̅ ) = ((x ∧ x̅ ) ∧ y̅ ) ∨ ((y ∧ y̅ ) ∧ x̅ ) =
= (0 ∧ y̅ ) ∨ ( x̅ ∧ 0) = 0 ∨ 0 = 0.
Следовательно, соотношение x̅ ̅∨̅ ̅y̅ = x̅ ∧ y̅ доказано. Аналогично доказывается и второй закон.
Упрощение записи формул.Операции дизъюнкции и конъюнкции удовлетворяют законам коммутативности и ассоциативности. Поэтому если переменные или формулы связаны только посредством одной из этих операций, то их можно выполнять в лгсбом порядке, а формулы записывать без скобок. Например:
((х1 ∨ x2) ∨ (х3 ∨ x4) ∨ х5 = х1 ∨ x2 ∨ х3 ∨ x4 ∨ х5,
а также (х1 ∧ x2) ∧ (x3 ∧ (х4 ∧ x5) = х1 ∧ x2 ∧ x3 ∧ х4 ∧ x5.
Если считать, что операция конъюнкции должна предшествовать операции дизъюнкции (конъюнкция связывает сильнее дизъюнкции), то можно опустить скобки, в которые заключены формулы со знаком конъюнкции. При наличии скобок в первую очередь должны выполняться операции внутри скобок, независимо от их старшинства. Обычно опускают также скобки, в которые заключены формулы со знаком отрицания.
Еще одно упрощение связано с символикой. Знак конъюнкции в формулах можно опустить и вместо х ∧ у писать ху. Операцию конъюнкции часто называют логическим умножением, а операцию дизъюнкции - логическим сложением.
С учетом приведенных условий запись существенно упрощается. Например, формуле (x ∧ (y ∧ z̅ )) ∨ (( x̅ ̅∨̅ ̅y̅ ) ∧ z) соответствует запись xyz̅ ∨ x̅ ̅∨̅ ̅y̅ z.
7. Переключательные схемы. В качестве одной из интерпретаций булевых функций рассмотрим электрическую схему, состоящую из источника напряжения (батареи), лампочки и одного или двух ключей (х1 и x2). Ключи управляются кнопками с двумя состояниями: кнопка нажата (1) и кнопка отпущена (0). Если в исходном состоянии ключ разомкнут, то при нажатии кнопки он замыкается.
- 65 -
Ключ может быть сконструирован и так, что в исходном состоянии он замкнут, тогда нажатие кнопки означает его размыкание, т. е. приводит к противоположному результату. Поэтому нормально замкнутые ключи обозначим через x̅1 и x̅2.
При соответствующих состояниях кнопок лампочка принимает одно из двух состояний: горит (1) и не горит (0). Состояния кнопок отождествляются со значениями булевых переменных х1 и x2, а состояние лампочки — со значением функций этих переменных.
Рис. 22. Переключательные схемы, соответствующие операциям отрицания (а), дизъюнкции (б) и конъюнкции (в)
Операции отрицания соответствует схема с одним нормально замкнутым ключом (рис. 22, а). Если кнопка нажата (х = 1), ключ разомкнут и лампочка не горит, т. е. f(х) = 0; при отпущенной кнопке (х = 0) ключ замкнут и лампочка горит, т. е. f(x) = 1. Операциям дизъюнкции и конъюнкции соответствуют схемы с двумя нормально разомкнутыми ключами (рис. 22, б, в). Легко убедиться, что в схеме рис. 22, б лампочка горит при нажатии хотя бы одной из кнопок, а в схеме рис. 22, в - только при нажатии обеих кнопок одновременно.
Рис. 23. Переключательная схема, реализующая логическую функцию (а), и упрощенная схема(б).
Любую сложную булеву функцию можно представить некоторой переключательной схемой. На рис. 23,а показана схема, реализующая функцию у = х1 x̅2 ∨ x̅1 x2x3 ∨ x3x4. Та же функция представляется равносильной формулой у = х1 x̅2 ∨ ( x̅1 x2 ∨ x4)x3, которой соответствует другая более простая схема (рис. 23, б). Следует иметь в виду, что ключи, обозначенные одинаковыми буквами (х или x̅ ), связаны между собой и управляются общей кнопкой.
В реальных устройствах используются ключи различной конструкции и физической природы (механические, электромагнитные, электронные, гидравлические, пневматические и т. д.) Однако при реализации логических функций многие технические особенности не имеют значения.