Несовместность совокупности событий A1, A2, ..., An, следует из их попарной несовместимости, т.е. из условия
Ai ∩ Aj = ∅ (i,j = 1,2,..., n; i ≠ j).
- 81 -
Однако полная независимость совокупности событий, вообще говоря, еще не определяется их попарной независимостью. Кроме условий
P(Ai ∩ Aj) = P(Ai)P(Aj) (i,j = 1,2,..., n; i ≠ j),
должны выполняться также аналогичные условия для любых сочетаний по 3, 4, ... , n событий. Например, для трех событий условие полной независимости выражается системой соотношений:
P(A1 ∩ A2) = P(A1)P(A2);
P(A1 ∩ A3) = P(A1)P(A3);
P(A2 ∩ A3) = P(A2)P(A3);
P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1)P(A2)P(A3).
Невыполнение хотя бы одного из этих соотношений свидетельствовало бы о том, что события A1, A2 и A3 в совокупности зависимы. На практике, однако, попарная независимость обычно влечет за собой и независимость в совокупности.
Задачи и упражнения
1. Какова вероятность угадать все шесть номеров (из 49) в спортлото?
2. Из урны, содержащей 8 белых и 12 черных шаров, вынимают один шар. Какова вероятность того, что он будет белым; что он будет черны?
3. Найдите на основе рассмотрения множества событий при бросании двух игральных костей (каждая кость имеет шесть равноправных граней, пронумерованных от 1 до 6) вероятность следующих событий:
а) на одной кости четыре очка, а на другой — меньше четырех;
б) на одной кости число очков вдвое больше, чем на другой;
в) сумма очков меньше пяти;
г) сумма очков больше восьми.
4. Какова вероятность открыть замок автоматической камеры хранения при случайном наборе цифр (замок открывается только при определенных значениях четырех десятичных цифр)?
5. Оцените вероятность того, что в группе из 23 студентов, по крайней мере, у двух студентов дни рождения совпадают.
6. Партия из 10 телевизоров принимается в магазине при условии, что случайно выбранные два из них окажутся исправными. Какова вероятность того, что магазин примет партию, содержащую 4 неисправных телевизора?
7. Два стрелка проводят по одному выстрелу, причем вероятности попадания в цель для них равны соответственно 0,8 и 0,9. Найдите вероятность поражения цели обоими стрелками и вероятность поражения цели хотя бы одни из них.
8. Исследуйте на независимость события А и В при следующих испытаниях:
а) из колоды в 52 карты выбирают одну: А - «туз»; В - «бубна»;
б) бросают две игральные кости: А - «одно очко на первой кости»; В - «четное число очков на второй кости»;
в) бросают три монеты: А - «выпало два герба»; В - «выпало три герба».
- 82 -
9. Исследуйте на несовместность события А и В при бросании игральной кости, если:
а) А - «четыре очка»; В - «четное число очков»;
б) А - «четное число очков»; В - «нечетное число очков».
10. Пять карточек, помеченные цифрами от 1 до 5, тщательно перетасовывают. Какова вероятность того, что:
а) трехзначное число, определяемое номерами трех извлеченных наугад карточек, окажется четным;
б) при случайной раскладке всех карт пять мест с номерами от 1 до 5 ни одна карточка не займет места, отмеченного ее номером;
в) при поочередном выборе всех карточек их номера будут появляться в возрастающим порядке.
11. Из 30 выстрелов по цели отмечено 25 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель.
Данный текст я (w_cat) набираю руками, опечатки LibreOffice Writer, как положено, выделяет красной волнистой, но если «опечатанное» слово совпадает с существующим в словаре (базе) то опечатку я не замечу и не исправлю, вычислите вероятность такой ошибки :).
Список литературы
Великолепный обзор основных идей и методов современной математики дан в трехтомной монографии «Математика, ее содержание, методы и значение», написанной выдающимися советскими математиками и вышедшей в издательстве АН СССР в 1956 г. под редакцией академиков А.Д. Александрова, А.Н. Колмогорова и М.А Лаврентьева. Эта книга является, пожалуй, лучшим образцом сочетания глубины, строгости и доступности изложения. Можно только пожалеть, что изданная сравнительно небольшим тиражом она стала библиографической редкостью.
Аналогичным по содержанию, но более популярным и кратким является сборник статей видных американских ученых «Математика в современном мире» (М. «Мир», 1967). Обращают на себя внимание прекрасно выполненные иллюстрации, которые помогают уяснить смысл сложных математических понятий. Живо и доступно написана книга Дж. Кемени, Дж. Снелла и Дж. Томпсона «Введение в конечную математику» (М. Изд. иностр. лит., 1963), в которой изложение идей и методов современной математики переплетается с большим количеством примеров из жизни, техники, экономики, биологии. Большое удовольствие может доставить читателю увлекательная и остроумная книга У.У. Сойера «Прелюдия к математике» (М. «Просвещение», 1965), которая аннотирована автором как «рассказ о некоторых любопытных и удивительных областях математики с предварительным анализом математического склада ума и целей математики».