20) A = B, если и только если (A ∩ B̅ ) ∪ (A̅ ∩ B ) = ∅
Соотношения (11)-(20) отражают свойства дополнения, разности, дизъюнктивной суммы, включения равенства.
2. Принцип двойственности. Первые десять свойств в табл. 1 представлены парами двойственных (дуальных) соотношений, одно из которых получается заменой в другом символов: ∪ на ∩ и ∩ на ∪, а также ∅ на U и U на ∅. Соответствующие пары символов ∪, ∩ и ∅, U называются двойственными (дуальными) символами.
При замене в любой теореме входящих в нее символов дуальными получим новое предложение, которое также является теоремой (принцип двойственности или дуальности). Тождества (11) и (12) не изменяются при замене символов дуальными, поэтому их называют самодвойственными.
Принцип дуальности можно распространить на разность и дизьюктивную сумму, если использовать тождества (14) и (15). Аналогично
- 87 -
в соответствии ...........
- !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! -
- Продолжение следует... -
...
2. Отношения 97
3. Отображения и функции 106
4. Отношение эквивалентности 115
5. Отношение порядка 121
6. Отношение толерантности 129
7. Законы композиции 137
8. Примеры алгебраических систем 145
9. Пространства 157
10. Комбинаторика 169
Список литературы 182
Глава 3. Матрицы 183
1. Действия над матрицами 184
2. Определители 199
3. Обращение матриц 216
4. Линейные уравнения 229
5. Дифференциальные уравнения 248
6. Функции от матриц 276
7. Матричные преобразования 298
8. Пространство переменных состояния 322
Список литературы 342
Глава 4. Графы 344
1. Деревья 345
2. Анатомия графов 362
3. Полюсные графы 380
4. Многополюсные компоненты 397
5. Системы координат 413
6. Неоднородный координатный базис 444
7. Сокращенный координатный базис 475
Список литературы 501
Глава 5
Логика
Одной из основных задач математической логики является анализ оснований математики. Но в настоящее время она уже вышла из рамок этой задачи и оказала существенное влияние на развитие самой математики. Из ее идей возникло точное определение понятия алгоритма, что позволило решать многие вопросы, которые без этого остались бы в принципе неразрешенными. Возникший в математической логике аппарат нашел приложение в вопросах конструкций вычислительных машин и автоматических устройств.
В начале этой главы излагаются основные положения, относящиеся к логическим функциям. Подробно исследуются булевы функции двух переменных, зависимости между ними и методы построения функционально полных систем. Наряду с булевой алгеброй, рассматривается алгебра Жегалкина, что позволяет глубже проникнуть в структуру логических функций.
Аппарат математической логики в значительной степени сложился под влиянием прикладных проблем, в рамках которых развились его специфические особенности. Пробным камнем среди технических приложений была задача анализа и синтеза контактных схем. Успехи в этой области послужили стимулом для использования аппарата математической логики и в других областях.
Триумфом сотрудничества математики и техники явилось создание вычислительных машин с программным управлением. К тому времени, когда электроника, магнитная техника и электромеханика смогли предложит эффективные методы построения логических элементов и устройств преобразования информации, математическая логика уже располагала в общих чертах аппаратом для проектирования схем, реализующих сложные логические функции.
Дальнейшие обобщения привели к развитию теории автоматов, основной задачей которой является математическое моделирование физических или абстрактных процессов, технических устройств и некоторых сторон поведения живых организмов. Автоматы используются в качестве универсальной модели в самых разнообразных областях, в том числе и при проектировании вычислительных машин.
При рассмотрении конечных автоматов, контактных и логических схем используются различные способы представления логических функций: многомерные кубы, карты Карно, символика s-кубов. На основе таких представлений излагаются основные методы мини
- 503 -
мизации булевых функций и их применение к синтезу контактных и логических схем.
В последнее время, наряду с двоичными функциональными элементами, разработаны и находят практическое применение многозначные элементы, характеризующиеся рядом положительных особенностей. В связи с этим сильно возросло значение многозначной логики, изложению основных положений которой посвящен специальный параграф. Там же кратко представлены другие логики, развившейся в связи с техническими и биологическими проблемами: пороговая, мажоритарная, нейронная, потенциально-импульсная и фазоимпульсная.