Заменяя десятичные числа их двоичными эквивалентами, читаемыми сверху вниз, получаем таблицу соответствия, в которой значения функций s(ν + 1) и у(ν) представлены двоичными кодами:
Рис. 239. Структурная схема конечного автомата
Отсюда видно, что комбинационная схема должна иметь четыре входа, соответствующие входным переменным x1(ν), х2(ν) и переменным состояния s(ν), s2(ν), а также три выхода, соответствующие переменным состояния s1(ν + 1), s2(ν + 1) и выходной переменной у1(ν). Синтезировав комбинационную схему, соответствующую полученной таблице и введя два элемента задержки З1 и З2, получим структурную схему автомата (рис. 239).
7. Минимизация автоматов. С утилитарной точки зрения интерес представляет только зависимость между входами и выходами автомата, а роль его состоянии сводится исключительно к участию в формировании этих зависимостей в качестве промежуточных переменных. Следовательно, любая совокупность состояний, обеспечивающая требуемые зависимости между входом и выходом, может быть выбрана в качестве множества состоянии автомата. В то же
- 572 -
время этот выбор естественно подчинить определенным целям, например, минимизации числа состояний или оптимизации автомата в каком-либо смысле. Следует иметь в виду, что с уменьшением числа состоянии уменьшается и количество требуемых элементов памяти, но это может привести к усложнению комбинационной схемы автомата. Поэтому синтез наиболее экономичного автомата часто требует поиска удачного компромисса между сложностью его комбинационной и запоминающих частей.
Рис. 240. Граф конечного автомата (а) и его сокращенная форма (б)
Минимизация числа состоянии полных автоматов связана с отношением эквивалентности. Пусть автоматы М1 и М2, находящиеся соответственно в начальных состояниях, σi и σj (обозначения М1 и М2 могут относиться к одному и тому же автомату), под воздействием любой входной последовательности выдают одинаковые выходные последовательности, т. е. автоматы М1 и М2 в данных состояниях σi и σj неразличимы по внешним выходам. Такое отношение между состояниями одного и того же или двух различных автоматов обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, следовательно, оно является отношением эквивалентности состояний. Если состояния не эквивалентны, то их называют различимыми. Легко доказать справедливость следующих положений:
1) состояния σi и σj автомата явно различимы, если различаются соответствующие, им строки в таблице выходов;
2) состояния σi и σj автомата явно эквививалентны, если соответствующие им строки в таблице переходов и таблице выходов одинаковы или становятся одинаковыми при замене каждого номера σi на номер σj (или наоборот).
Например, для автомата, граф которого изображен на рис. 240, а, общая таблица переходов имеет вид:
- 573 -
Из этой таблицы следует, что состояния из множества {0, 3, 4}являются явно различимыми с любым состоянием из множества {1, 2, 5, 6}. Поэтому следует искать эквивалентные состояния только среди элементов, принадлежащих одному из этих множеств. Так как строки 0 и 4 одинаковы, а строки 1 и 5 становятся одинаковыми при замене цифры в числителе 1 на 5 (или 5 на 1), то явно эквивалентными являются пары состояний {0,4} И {1,5}.
Объединяя эквивалентные состояния в автомате М1, получаем эквивалентный автомат М2 с меньшим числом состоянии, который в любом состоянии нельзя отличить от исходного, наблюдая сигналы на выходах. Очевидно, автоматы М1 и М2 являются эквивалентными, если каждому состоянию σi , автомата М1 соответствует, по крайней мере, одно эквивалентное ему состояние автомата M2, и если каждому состоянию σj , автомата М2 соответствует хотя бы одно эквивалентное ему состояние автомата М1.