Эквивалентные состояния, например, σi и σj , удобно объединять по общей таблице переходов, вычеркивая строку σj , и заменяя везде в числителе числа σj на σi . После объединения пар явно эквивалентных состояний может оказаться возможным снова обнаружить такие состояния, которые также объединяются с помощью аналогичной процедуры. В результате последовательного объединения приходим к сокращенной таблице переходов, которой соответствует сокращенный автомат, эквивалентный исходному, но имеющий меньшее число состоянии. Так, для рассматриваемого примера получаем последовательно:
|
|
- 574 -
Первая таблица соответствует объединению пар эквивалентных состоянии {0,4} и {1, 5}, а вторая - объединению пары {2, 6}. Сокращенный автомат содержит только четыре состояния (рис.240, б).
8. Эквивалентное разбиение. Если известны все пары эквивалентных состояний конечного автомата, то тем самым на множестве S его состояний определено отношение эквивалентности, которому соответствует некоторое разбиение на классы эквивалентности S = {S1, S2 ..., Sν}. При этом состояние, не имеющее эквивалентного ему состояния, составляет класс эквивалентности, единственным элементом которого является это состояние. Обозначим через σ'0, σ'1, ..., σ'ν представители классов эквивалентности и через М' – автомат, множеством состояний которого является семейство представителей S' = {σ'0, σ'1, ..., σ'ν}. Можно утверждать, что автоматы М и М' эквивалентны (М ~ М'), причем М' имеет минимальное число состояний, т. е. является минцмальной формой автомата.
Объединение эквивалентных состояний в классы эквивалентности осуществляется весьма просто. Если σi ~ σj и σj ~ σk, то на основе свойства транзитивности следует, что σi ~ σk, и, значит, пары {σi , σj}и {σj , σk} входят в общий для них класс эквивалентности. Но для выявления всех пар эквивалентных состояний требуется более громоздкая процедура, так как множество таких пар не исчерпывается явно эквивалентными состояниями и не всегда может быть полностью обнаружено и объединено способом, изложенным ранее.
Для эквивалентного разбиения множества S состояний автомата предложен ряд способов. Один из них основан на последовательном рассмотрении всевозможных пар состояний и исключении тех из них, которые не являются эквивалентными. При этом пары одинаковых состояний {σi , σi}, являющиеся в силу свойства рефлективности заведомо эквивалентными {σi~σi}, не рассматриваются. Процедура эквивалентного разбиения осуществляется по таблице пар состояний, которая получается на основе общей таблицы переходов автомата. Так как явно различимые пары состояний (для таких состояний строки в таблице выходов различные) не могут быть эквивалентными, то они в таблицу пар не включаются. Для каждой пары отводится строка, для каждого входа – столбец, ав клетках на основании таблицы переходов указывается пара состояний, в которые переходит автомат из данной пары состояний при данном входном воздействии (порядок записи состояний в каждой паре безразличен). Исключаемые пары отмечаются каким-либо способом (набираются жирным шрифтом, подчеркиваются или снабжаются меткой). Далее приведены общая таблица переходов (табл. 10) и полученная из нее таблица пар состояний некоторого автомата.
- 575 -
Так как одинаковые строки таблицы выходов соответствуют множествам состояний {0, 2, 4, 6, 7} и {1, 3, 5, 8}, то в первом столбце таблицы пар указаны только попарные комбинации таких состояний, которые входят в одно и то же множество, т. е. не являются явно различимыми.
Исключение пар основано на следующем положении: если состояния σi и σj эквивалентны, то эквивалентными являются и состояния, в которые автомат переходит под любым входным воздействием. Это значит, что на первом шаге необходимо отметить те пары, которые переходят в пары, состоящие из различных состояний и отсутствующие в первой графе таблицы. Так как обозначенные пары не могут быть эквивалентными, то на следующем шаге отмечаются все те пары, которые переходят в пары, отмеченные на предыдущем шаге и т. д. Процесс заканчивается тогда, когда среди неотмеченных пар уже нет таких, которые можно отметить в соответствии с изложенным правилом. После этого неотмеченные пары и представляют собой попарно эквивалентные состояния.