Сейчас я буду доказывать, что на сфере индекс Эйлера равен 2, а на торе он равен 0, и, может быть, вам будет ясно, как Эйлер к этому пришел.
Рис. 33. Накидываем «сеть» из ребер и вершин на верхнюю половину сферы и на небольшой кусок поверхности тора. Нижняя часть сферы может трактоваться как одна гигантская грань (грани не обязательно должны быть треугольными). Оставшийся кусок тора НЕ МОЖЕТ считаться «гранью», так как грань не может выглядеть как трубка. Надо эту трубку подразбить на более мелкие части (на треугольники, квадратики и т. д.).
Допустим, я уже сформировал «сеть», покрывающую сферу, и «сеть» для тора (рис. 33).
Стираю одно ребро на сфере (потом буду стирать ребра и на торе). Что меняется вот в этом нашем выражении (то есть В − Р + Г)?
Слушатель: Минус одно ребро.
Слушатель: Минус одна грань.
А.С.: Значит, выражение В − Р + Г не изменилось (рис. 34).
Рис. 34. Укрепляем «страны» за счет удаления участков границ. Начинать удаление можно с любого ребра.
Какие еще операции я могу сделать с этой картинкой? Могу убрать еще одно ребро. Опять ничего не изменится. Но в какой-то момент меня ударят но рукам. Некоторые вершины могут стать странными (что-то вроде куска забора в чистом поле).
Может получиться «висячая вершина» — она связана с единственным ребром (может быть и несколько таких кусков, см. рис. 35).
Рис. 35
Давайте превратим вот такое ребро во что-нибудь человеческое (только не в человеческое ребро!). Что для этого надо сделать?
Слушатель: Выпрямить.
А.С.: Да. Удалить вершину и выпрямить границу, убрав ненужный «кусок границы». Что изменилось?
Слушатель: Минус вершина.
Слушатель: Минус ребро.
А.С.: Минус ребро, потому что из двух соседних ребер стало одно. Заметьте, что в выражении В − Р + Г опять ничего не изменилось. Итак, я буду упрощать картинку дальше (см. рис. 36).
Рис. 36. Одна из стран явно стала «империей»!
Что происходит, когда я сниму еще ребро?
Пусть возникнет еще одна аномалия такого же типа. Возникнет вершина, из которой торчит ребро, и на другом конце ребра висит пустая вершина. Но по-прежнему В − Р + Г такое же, как было раньше. Что я теперь могу сделать с этой вершиной и этим ребром? Стереть их целиком. При этом количество и вершин, и ребер уменьшится на 1 (рис. 36). Значит, выражение опять не изменилось, а «сеть» на поверхности стала проще.
Я значительно увеличил грань, я убрал всё внутри нее, а выражение не менялось. «Сеть» свелась к двум граням, охватывающим сферу «сверху и снизу», разделенным замкнутой ломаной; в ней количество вершин равно количеству ребер, то есть В − Р + Г = Г = 2.
Для сферы формула Эйлера тем самым доказана.
Вопрос: «В какой ситуации логика этих рассуждений не может быть проведена?» Математик всегда изучает, в каком месте его рассуждение не пройдет. А не пройдет оно, например, на торе. На торе берем вершину и 2 ребра (рис. 37).
Рис. 37. Ребро вокруг бублика и ребро вокруг дырки от бублика (и одна вершина).
К такой картинке (рис. 37) приводится сниманием ребер любая «сеть» (достаточно общего вида) на торе. Почему же нельзя снять еще одно ребро? Здесь я взываю к интуиции слушателей. Если мы разрежем тор по этим ребрам, а потом развернем, то получим квадрат. Чтобы лучше себе всё это представить, проделаем данные операции в обратном порядке: возьмем обычный квадрат из гибкой резины и изогнем его так, чтобы две противоположные стороны квадрата совпали (и затем склеим по совпавшим сторонам).
Получилась трубка (две оставшиеся стороны квадрата превратились при этом в два колечка). Изогнем трубку таким образом, чтобы эти колечки тоже совпали (и склеим их). Вот и получился из квадрата тор. По местам склеек восстанавливаем, где на этом торе расположены два ребра и одна вершина (из четырех вершин квадрата получилась ОДНА вершина на торе).
Осталось пояснить только один важный вопрос: так все-таки можно или нельзя при изучении топологии делать склейки, разрывы и надрезы? Выше говорилось, что при этом может измениться топологический тип объекта. Значит, если мы хотим сохранить топологический тип объекта, этого делать нельзя. Но можно безболезненно делать многое другое: растяжение, сжатие, перемещение, поворот объекта, увеличение его в несколько раз. Эти операции позволяют представить изучаемый объект в самом простом для понимания виде. Например, конус (заполненный внутри) можно превратить в шар.