Рис. 40. Сфера зажата между двумя круглыми гранями (передняя, малая и задняя, большая). Их разделяет n-угольник (в нём, как было сказано выше, n ребер и n вершин). Странно только, что n = 1. Как это понимать, обсуждается в лекции.
Как их делают? Берут кусок теста, поднимают за края, слепляют, и получается сфера. Так что в топологии можно сказать, что сфера отличается от круга всего одной точечкой. Отсюда и возникает одна точка и ноль ребер.
Давайте к одной вершине добавим одно ребро (рис. 40). Что изменилось? Добавилось одно ребро и одна грань. То есть у нас одна вершина, одно ребро и две грани. Странно смотрится замкнутое ребро на рис. 40? Давайте тогда поставим еще одну вершину (рис. 41).
Рис. 41. Случай n = 2 (назовем это «два двуугольника»).
Итак: 2 вершины, 2 ребра, 2 грани: 2 – 2 + 2 = 2.
Не бывает двугранников? Да еще образованных двумя «двуугольниками»? Хорошо. Чтоб не было сомнений, добавим еще две вершинки. Получится квадрат на сфере, то есть n = 4.
4 вершины, 4 ребра, 2 грани: 4 – 4 + 2 = 2. Упорно получается значение «2».
Можно остановиться в любой момент, посчитать количество вершин, ребер и граней. Но вы должны понимать, что всегда можно привести к ситуации, в которой останется одна вершина. Поэтому у любой картинки на сфере эйлерова характеристика равна двум, ибо эту картинку можно свести к простейшему случаю «одна вершина, одна грань, ноль ребер».
Мы получаем противоречие. На торе всегда ноль, а на сфере — два. Но 2 не равно 0. Значит, это разные топологические фигуры, что, впрочем, каждый из вас и так знал. Но вопрос не в том, чтобы доказать очевидный факт, а в том, чтобы наработать язык, который поможет нам этот факт заметить в других пространствах. В частности, в пространстве большего числа измерений. А в большем числе измерений верно в точности то же самое, только появляется то, что называется «трехмерные грани». И получается следующее выражение:
В − Р + Г − Т.
Здесь Т — количество трехмерных граней. Так выглядит эйлерова характеристика для четырехмерного пространства, в котором лежит трёхмерный объект. В общем случае у формулы тот же вид В − Р + Г − Т +… и так далее, в n-мерном пространстве, которое довольно сложно представить. Если изучить, что происходит при стирании вершины, ребра, грани, трехмерной грани, будет обнаруживаться, что значение нашего выражения не изменится. Вот основываясь на примерно таких вещах, но гораздо более сложных, была установлена справедливость гипотезы Пуанкаре.
В 2002 году, когда доказали гипотезу Пуанкаре, газета «Известия» напечатала о ней статью. Помнится, в СССР было 2 основных газеты: «Правда» и «Известия». И все знали, раз написано в газете «Известия», значит факт. Но в 2002 году «Известия» отступили от этого замечательного правила, написав математическую формулировку гипотезы Пуанкаре в таком виде, в котором она являла собой полную чушь. Они не удосужились позвонить ни одному грамотному математику и очень сильно опозорились (впрочем, мало перед кем).
А теперь — обещанное в первой лекции доказательство того, что в футбольном мяче ровно 12 пятиугольных лоскутков.
Рисуем на сфере картину футбольного мяча. Он должен состоять из шестиугольных и пятиугольных лоскутков. В любой вершине должны сходиться ровно 3 ребра. В остальном он может быть совершенно произвольным.
Давайте обозначим за x — число шестиугольников, за у — число пятиугольников.
Сколько тогда граней у нашего многогранника, нарисованного на сфере, то есть на футбольном мяче?
Слушатель: Граней?
А.С.: Да.
Слушатель: х + у.
А.С.: Правильно. Ровно столько, сколько в сумме количеств шести- и пятиугольников.
Г = х + у
(Г — количество граней).
Чему равно количество вершин и чему равно количество ребер? Посчитаем наивно. Сколько вершин у шестиугольника?
Слушатели: 6.
А.С.: 6. Всего х шестиугольников. Значит, у всех шестиугольников вершин…
Слушатель: 6x.
А.С.: А у пятиугольников?
Слушатель: 5у.
А.С.: Значит, пишем 6x + 5у, но это не совсем то, что надо.
Обозначим поэтому не «В», а «М»,
М = 6x + 5у.