В принципе, на этом месте я мог бы сказать «остальное проверьте сами», потому что в других случаях передвижения пустой фишки происходит ровно тот же самый эффект. Но давайте для аккуратности проверим что-нибудь еще. Например, вверх могло пойти число 14 (вместо того, чтобы опустить вниз число 8) (см. рис. 20).
Рис. 20. Еще один способ «освоения» пустого поля.
Что произойдет, где начались изменения? Только в нижних двух строках. Было 1, 2, 3, 4, 8, 7, 6, 5, а потом вместо 9, 10, 11, 14, 12, 15, 13 мы увидели 9, 10, 11, 14, 12, 15, 13. Ничего вообще не изменилось.
Давайте теперь представим себе внутреннюю пустую фишку. Скажем, если в позиции на рис. 18 клеточку 11 сдвинули к краю, а 7 сдвинули вниз (рис. 21):
Рис. 21. Семерка «переселилась» с 3-го этажа на 2-й.
Выпишем змейку до того, как подвинули 7:
1, 2, 3, 4, (8, 7, 6, 5, 9, 10, 11), 14, 12, 15, 13.
Теперь я двигаю 7 вниз и получаю вот такой фрагмент змейки:
1, 2, 3, 4, 8, 6, 5, 9, 10, 7, 11…
Выделяю в змейке группу, которая менялась.
Было: 1, 2, 3, 4, 8, (7, 6, 5, 9, 10), 11, 14, 12, 15, 13.
Стало: 1, 2, 3, 4, 8, (6, 5, 9, 10, 7), 11, 14, 12, 15, 13.
6, 5, 9, 10 переехали на шаг левее, а 7 через них перепрыгнула. Сколько будет изменений? Ровно 4. Пары опять поменялись. Правильные стали неправильными, и наоборот. Опять каждый раз мы прибавляем или отнимаем единицу. И так 4 раза. А 4 ведь — четное число, вот незадача. Опять результат меняется на четное число.
Что мы можем еще сделать? Мы могли вместо 7 подвинуть 12 (рис. 22). Тогда 12 прыгнет за пару (11, 14). Изменятся ровно две пары.
Слушатель: То есть нечетное число поменяться не может.
Рис. 22
А.С.: Ни при каких условиях. Мы уже знаем, что движение по горизонтали — бессмысленно. Получится та же самая змейка. Если мы движемся сверху вниз, то количество неправильных пар меняется либо на 2, либо на 4, либо на 6, либо ничего не меняется. Можно честно перебрать все возможные переходы снизу вверх. Можно просто понять, что никаких других вариантов, кроме четных, нет. То есть в пятнашку выиграть нельзя, потому что в стандартной исходной позиции количество неправильных пар 8, и изменить его можно только на четное число. А в требуемой позиции имеется 9 неправильных пар.
Слушатель: Из любой ли позиции выиграть невозможно?
А.С.: Почему? На самом деле из половины всех исходных позиций. Из половины невозможно, из половины возможно. Потому что в «высокой» математике учат, что половина последовательностей имеет четное число неправильных пар, а половина — нечетное[6]. Поэтому половина вариантов будет собираться в стандартную исходную позицию. Если пятнашки как угодно перемешать, вывалив из коробки и затем вставив обратно как придется, то перестановкой фишек всегда можно прийти либо к случаю «13, 14, 15», либо к случаю «13, 15, 14».
Чтобы понять, можно ли привести фишки в исходную позицию, нужно посчитать количество неправильных пар в змейке, соответствующей изучаемой исходной позиции. Если оно нечетное — привести к исходной позиции можно. Если четное — то нельзя.
Слушатель: Какие числа можно поменять местами?
Другой слушатель: Например, 1 и 3 можно поменять?
А.С.: Если я меняю 1 и 3 местами (было 1, 2, 3, — стало 3, 2, 1), то как изменилась четность? Было отсутствие беспорядков (то есть 0), стало три беспорядка. Четность, стало быть, изменилась. Так что поменять в игре «пятнадцать» 1 и 3 местами, сохраняя остальные фишки на своих местах, тоже невозможно. Ваши вопросы относятся к теории групп, основе современной алгебры. Что и как можно поменять, чтобы четность менялась — этот вопрос напрямую к теории групп[7]. Почему ровно половина позиций имеет четное количество беспорядков? Это тоже связано с некоторым фактом из теории групп. Сейчас я продолжу развивать эту тему. Рассмотрим «кубик Рубика». Венгерский инженер Рубик достойно продолжил дело, начатое Сэмом Лойдом.
Давайте разберем этот кубик и соберем его обратно.
Слушатель: По-моему, есть даже какие-то соревнования на этот счет.
А.С.: На соревнованиях надо собрать тот, который теоретически возможно собрать. Под словом «разобрать» я понимаю более радикальную операцию: «разодрать».
Как только мне купили кубик Рубика, я сразу его разодрал. Потому что мне было интересно, любую ли позицию можно привести к исходной. Мне было это настолько долго интересно, что на мехмате МГУ я решил соответствующую задачку в качестве зачета. Возможно (если мне не изменяет память) 12 разных расположений, не переводящихся друг в друга. В пятнашках — 2, а для кубика Рубика — 12 ситуаций. Это тоже следует из теории групп (по которой я и сдавал зачет).
6
Это утверждения требует доказательсва и является далеко не очевидным. Тут как раз поможет «искусство игры в пятнашку».