Многие британские родители – и наверняка бабушки и дедушки – изучали в школе числа в разных системах счисления. Тому была серьезная причина, поскольку в обычной жизни им каждый день приходилось сталкиваться со счетом в системах, отличных от десятичной. К примеру, в шиллинге было 12 пенсов, в футе – 12 дюймов, в фунте – 16 унций, в галлоне – 8 пинт.
Теперь, когда большая часть мира пользуется метрической системой, необходимость изучения других систем счисления стала куда менее очевидной, но представление о том, как они работают, помогает лучше понять десятичную систему, которой мы пользуемся и склонны воспринимать как нечто само собой разумеющееся. А тому, кто хотел бы разобраться в основах работы компьютеров, без понимания двоичной системы не обойтись (позже мы поговорим об этом более подробно).
В эту игру, чрезвычайно популярную на детских площадках по всей Британии, могут играть дети уже в пять лет, но на самом деле она способна развлечь не только малышей, но и подростков и даже взрослых. Существует множество вариантов, а базовый называется «Двадцать». Два игрока по очереди считают до 20, называя в свою очередь одно, два или три числа (каждый из них сам решает, сколько чисел называть за этот ход). Игрок, которому приходится завершать счет и назвать последнее число – 20 – проигрывает. Поэтому игра может идти примерно так:
Али: Один, два.
Джейк: Три.
Али: Четыре, пять, шесть.
Джейк: Семь, восемь.
Али: Девять, десять, одиннадцать.
Джейк: Двенадцать, тринадцать, четырнадцать.
Али: Пятнадцать, шестнадцать…
Джейк (улыбается, ведь напряжение растет): семнадцать, восемнадцать, девятнадцать!
Али: Пропади ты пропадом… двадцать!
Не секрет, что дети часто играют в эту игру по много раз подряд, пытаясь выработать победную стратегию. До них быстро доходит, что главное – это добраться до девятнадцати, поскольку тогда у противника не будет выбора, и ему придется сказать «двадцать». Но как гарантировать себе возможность добраться до девятнадцати? Решение в том, чтобы добраться до 15. После 15, что бы ни сказал противник (16 или 16, 17 или 16, 17, 18), вы сможете за следующий ход добраться до 19 и на этом остановиться.
На самом деле в этой игре, оказывается, существует закономерность: чтобы выиграть, нужно останавливаться на «ступеньках» – числах 3, 7, 11, 15 и 19:
Чтобы гарантированно выиграть, нужно досчитать до трех. Это просто, если вы начинаете: вы просто говорите: «Один, два, три». Если вы считаете вторым, остается только надеяться, что ваш противник не знает, как выиграть, и не досчитает до трех на первом ходу. Тогда в следующие ходы вы сможете останавливаться на 7, 11, 15 и 19.
Может показаться, что это игра для тренировки счета, но на самом деле все гораздо глубже; главное в ней – обнаружить закономерность.
Можно очень быстро усложнить игру, просто слегка изменив правила. К примеру, что если сделать целевым числом 25? Или разрешить игрокам называть не по три, а по четыре числа подряд? Или играть втроем?
Умение считать группами
Прежде чем более внимательно рассмотреть нашу систему счета больших чисел, давайте попытаемся понять, в чем сложность того, что приходится осваивать маленьким детям в процессе обучения счету.
Во-первых, разумеется, им приходится заучивать новые названия: один (раз), два, три и т. д. И, хотя взрослым это кажется очевидным, детям необходимо узнать и запомнить, что эти слова следует произносить в определенном и всегда одинаковом порядке (а вот, например, игрушечных мишек, красиво рассаженных на диване, можно называть в любом порядке, да и расположить их можно по-разному). Многие известные детские считалки – «Раз, два, три, кому хочешь, дари!»; «Раз, два, три, четыре, пять, вышел зайчик погулять…» – придуманы именно для того, чтобы помочь ребенку освоить счет.
При знакомстве с числами дети видят в них скорее «описания», «ярлычки», не имеющие отношения к «количеству». Фраза «Саше четыре годика» для ребенка не слишком отличается от фраз «Саша – мальчик» или «Саша маленький». Номера домов, кнопки на мобильнике, телевизионные каналы – дети со всех сторон окружены числами-ярлыками и не воспринимают их как что-то связанное с количеством. Разумеется, мы как родители помогаем им увидеть эту связь, но работы здесь еще много. Так, если, занимаясь с четырехлетним ребенком, вы выложите на стол шесть конфет, пересчитаете их и попросите малыша дать вам три штучки, то он уверенно протянет вам одну конфету – ту, на которую указал ваш палец на слове «три», вместо того чтобы дать сразу три. Это очень серьезное достижение – произнося «один, два, три, четыре, пять, шесть» и показывая пальцем на последнюю в ряду конфету на слове «шесть», осознавать, что теперь «шесть» может быть ярлычком для всех конфет вместе, а не только для той одной, на которую палец указал последней. И это при условии, что ребенок уже преодолел одно серьезное препятствие и научился координировать три вещи: указывать на конфету ровно в тот момент, когда произносится очередное счетное слово; следить за тем, чтобы не пропускать ни конфет, ни слов, а также за тем, чтобы не сосчитать ни одну из конфет дважды. Учиться счету лучше на реальных объектах, а не на картинках, потому что посчитанные предметы можно отодвигать в сторону (чтобы не сосчитать их повторно) и делать это одновременно с произнесением соответствующего счетного слова.