Глава 1. Жесткие крестики-нолики
Однажды на пикнике в Беркли я увидел группу математиков, которые побросали свои летающие тарелки фрисби и сгрудились, чтобы сыграть — вот уж чего никак не ожидал — в крестики-нолики.
Возможно, вы успели убедиться на собственном опыте, что крестики-нолики смертельно скучны (в медицинском смысле слова). Из-за того, что возможностей для хода ничтожно мало, опытные игроки быстро запоминают оптимальную стратегию. Вот как проходят все мои партии:
Если оба игрока хорошо понимают правила, все партии раз за разом проходят вничью — механически, без простора для творческой мысли.
Но на том пикнике в Беркли математики играли в необычные крестики-нолики. На их игровом поле каждая из девяти клеток делилась еще на девять клеточек[1]:
Когда я присмотрелся, основные правила прояснились:
Но потребовалось чуть больше времени, чтобы понять самое важное правило:
Вы не можете поставить крестик или нолик в клеточке на произвольном мини-поле. Все зависит от предыдущего хода противника. Вы должны играть на том мини-поле, которое соответствует клеточке, где он поставил свой крестик или нолик.
(А от того, где вы поставите свой крестик или нолик, зависит, на каком мини-поле он будет играть дальше.)
Это придает игре стратегический элемент. Вы не можете ставить крестик или нолик где угодно. Вы должны рассчитать, куда ваш ход перенаправит вашего противника и куда его ход перенаправит вас — и так далее, и так далее. (Есть всего одно исключение: если ваш противник перенаправляет вас на поле, которое уже сыграно, поздравляю — вы можете выбрать любое другое.)
В итоге сценарии игры выглядят эксцентрично: игроки легко теряют по два-три крестика или нолика на одной линии. Как будто звезда баскетбола упускает открытую передачу и кидает мяч в толпу. Но в этом безумии есть метод. Игроки думают на несколько ходов вперед, в зависимости от того, что предпринимает противник. Осуществив хитрую атаку на мини-поле, вы остаетесь в дураках на большом поле, и наоборот — это-то и вносит напряжение в процесс игры.
Время от времени я играю в жесткие крестики-нолики с моими учениками[2]; они наслаждаются стратегией, шансом победить учителя и, что самое существенное, отсутствием тригонометрических функций. Но частенько кто-нибудь из них застенчиво спрашивает: «Ну, мне, конечно, нравится игра, но какое отношение она имеет к математике?»[3]
Я знаю, как обычные люди воспринимают мою профессию: унылая тирания жестких правил и формульных процедур, где не больше разнообразия, чем, скажем, в заполнении страхового свидетельства или налоговой декларации. Вот пример задачки, которая ассоциируется с математикой:
Эта задачка, вероятно, сможет занять ваше внимание на пару минут, хотя вскоре вы абстрагируетесь от геометрического смысла. Периметр больше не будет означать длину линии, ограничивающей прямоугольник. Он превратится просто-напросто в удвоенную сумму двух чисел. Как и в обычных крестиках-ноликах, все сведется к примитивным вычислениям, не требующим интеллектуального напряжения. Здесь нет места фантазии, нет вызова вашим способностям.
Но математика не ограничивается бухгалтерскими вычислениями, ее потенциал гораздо шире. Математика может быть дерзкой и увлекательной, успех может зависеть от баланса терпеливости и авантюризма. Попробуем переформулировать рутинную задачу, приведенную выше, в таком духе:
Эта задачка уже по-настоящему захватывающая. Она противопоставляет площадь и периметр. Вы не просто пользуетесь формулой; в процессе решения вам необходимо постичь суть прямоугольника. (Спойлеры — в примечаниях[4].)
Или как насчет такого:
В этом уже есть какая-то перчинка, не правда ли?
За два быстрых шага мы перескочили от сомнамбулически нудной работы к довольно любопытной небольшой головоломке, и у шестиклассников горят глаза, когда я закидываю им эту задачу в качестве дополнительного вопроса на итоговом экзамене. (Ответ — опять-таки в примечаниях[5].)
1
Происхождение этой игры теряется в тумане. Возможно, впервые ее правила были изложены в журнале
2
Когда я впервые продемонстрировал эту игру моим ученикам в Оклендской чартерной средней школе (
3
Я благодарен Марку Торнтону, который прочел черновик этой главы и задал в точности тот же самый вопрос. Правки Майка сродни текстам песен Леонарда Коэна или прозе Хемингуэя: я всегда знал, что они хороши, но чем старше я становлюсь, тем больше ценю их.
4
Ключевая идея заключается в том, что у продолговатых прямоугольников непропорционально большой периметр, а у похожих на квадраты — непропорционально большая площадь. Поэтому нужно просто взять продолговатый прямоугольник (например, 10×1) и почти квадратный (например, 3×4).
5
Если в ответе должны быть целые числа, задача становится еще веселее. Вот мой вывод формулы, порождающей целое семейство решений: