Умножение — вот настоящее веселье. Чтобы не быть чужим на этом празднике жизни, вам стоит применить первое стратегическое правило чтения математических текстов: формирование мысленных образов.
Как показано на рисунке на предыдущей странице, умножение сводится к сеткам и массивам. Число 1001 можно рассматривать в качестве гигантской конструкции из кубиков: 7 в ширину, 11 в длину и 13 в высоту. Но это только начало. Вы можете представить это число как 11 слоев из 91 кубика каждый, а если вы наклоните голову, то увидите 7 слоев по 143 кубика в каждом. Все эти способы разложения числа 1001 становятся очевидны благодаря факторизации. Но почти невозможно разобрать это число без кропотливых вычислений, просто глядя на сочетание цифр.
Факторизация — это ДНК числа. Благодаря факторизации вы можете понять, на что делится данное число, а на что нет. Если математика — это мастер-класс по кулинарии, то произведение 7 × 11 × 13 — это не рецепт блинчика, а сам блинчик.
Для типичных фанатов число π — таинственная руна, символ математической магии. Они размышляют над его иррациональностью, запоминают цепочку из тысячи цифр и отмечают 14 марта День π, сочетая наиболее славное искусство человечества (приготовление сладких пирогов) с наименее славным (пижонство). Для широкой же публики число π — это объект одержимости и благоговейного трепета. Вокруг него сложилось нечто вроде религиозного культа.
А для математиков π — это приблизительно 3.
Что до бесконечной катушки знаков после запятой, которая так пленяет профанов, то математиков это не тревожит. Они знают, что математика — нечто большее, чем точные вычисления. Это быстрая прикидка и ловкое округление. Интуиция помогает оптимизировать и упрощать. Разумное огрубление — еще одно жизненно важное стратегическое правило чтения математических текстов.
Возьмем формулу S = πR2, которую многие школьники слышат так часто, что фраза «площадь круга» вызывает у них рефлекторное желание закричать: «Пи эр квадрат!» Они как агенты глубокого внедрения с промытыми мозгами. Но что значит эта формула? Почему это так?
Ладно, забудьте о числе 3,14159. Раскрепостите сознание. Просто поглядите на геометрические фигуры: r — это радиус круга, длина отрезка; r2 — это площадь квадрата (он изображен на чертеже). А теперь вопрос на π долларов: как площадь круга соотносится с площадью этого квадрата?
Очевидно, что площадь круга больше. Но не в четыре раза больше, потому что четыре квадрата покроют не только круг, но и дополнительную часть плоскости. Кроме того, присмотревшись, вы поймете, что площадь круга немного больше, чем площадь трех квадратов.
Это именно то, что утверждает наша формула: площадь круга чуть-чуть больше, чем 3 × r2.
Если вы хотите установить точное значение числа π (почему 3,14, а не 3,19?), вам придется прибегнуть к доказательству. (Есть несколько великолепных наглядных доказательств, мое любимое заключается в том, чтобы снимать с круга слой за слоем, как будто кожицу с луковицы, и в итоге получить многоугольник[11].) Но математики, что бы они ни доказывали, не всегда исходят из первичных принципов. Как и представители других профессий, от плотников до смотрителей зоопарка, они с радостью используют какой-нибудь инструмент, даже не зная в точности, каким образом он сконструирован, до тех пор, пока у них есть ощущение, что он работает.
«Постройте график исходя из уравнения» — знакомое домашнее задание. Я и сам его задавал. Кроме того, это зародыш порочного мифа: якобы графики являются самоцелью. На самом деле их построение не похоже на решение уравнений или выполнение операций. График — это не конечный пункт, а всегда не более чем средство.
График — это способ визуализировать данные, картинка, которая рассказывает историю. Он представляет собой еще одну могущественную стратегию чтения математических текстов: превратить статику в динамику.
Возьмем уравнение, приведенное выше: y = 1/x2. Здесь x и y — пара взаимосвязанных чисел. Вот несколько примеров:
Уже просматривается несколько закономерностей. Но чем лучше наши технические приемы, тем больше мы видим, и таблицы — не модный инструмент. Из бесконечных пар x — y, которые подходят нашему уравнению, таблица, как бегущая строка биржевых индексов, может показать всего лишь несколько. Нам нужен инструмент визуализации получше: математический аналог телевизионного экрана.