Р = вероятность выигрышной ставки или сделки;
В = отношение выигранной суммы по выигрышной ставке к проигранной сумме по проигрышной ставке;
1n() = функция натурального логарифма.
Оказывается, что для систем с двумя возможными исходами это оптимальное f можно довольно легко найти с помощью формул Келли.
Формулы Келли
Начиная с конца 1940-х годов, инженеры компании Bell System работали над проблемой передачи данных по международным линиям. Проблема, стоящая перед ними, заключалась в том, что линии были подвержены случайному, неизбежному «шуму», который мешал передаче данных. Инженерами компании было предложено несколько довольно оригинальных решений. Как это ни странно, наблюдались большие сходства между проблемой передачи данных и проблемой геометрического роста, которая относится к управлению деньгами в азартных играх (так как обе проблемы являются продуктом случайной среды). Так появилась первая формула Келли.
Первое уравнение выглядит следующим образом:
или
(1.09б) f=P-Q,
где f = оптимальная фиксированная доля;
Р = вероятность выигрышной ставки или сделки;
Q = вероятность проигрыша (1 - Р).
Обе формы уравнения (1.09) эквивалентны.
Уравнения (1.09а) или (1.096) для оптимального f дадут правильный ответ при условии, что выигрыши и проигрыши будут одинаковые по величине. В качестве примера рассмотрим следующий поток ставок:
Есть 10 ставок, 6 из них выигрышных, отсюда:
f=(0,6*2)-l =1,2-1=0,2
Если выигрыши и проигрыши не были бы одинакового размера, то эта формула не дала бы правильного ответа. Примером служит бросок монеты в игре «два к одному», где все выигрыши — 2 единицы, а проигрыши — 1 единица.В этом случае формула Келли будет выглядеть следующим образом:
где t = оптимальная фиксированная доля;
Р = вероятность выигрышной ставки или сделки;
В = отношение выигранной суммы по выигрышной ставке к проигранной сумме по проигрышной ставке.
В нашем примере с броском монеты в игре «два к одному»:
f=((2+l)*0,5-1)/2 =(3*0,5-1)/2 =0,5/2 = 0,25
Эта формула даст правильный ответ для оптимального f при условии, что все выигрыши между собой всегда одинаковы и все проигрыши между собой всегда одинаковы. Если это не так, формула не даст правильного ответа.
Формулы Келли применимы только к результатам, которые имеют распределение Бернулли (распределение с двумя возможными исходами). Торговля, к сожалению, не так проста. Применение формул Келли к иному распределению является ошибкой и не даст нам оптимального f. Более подробно о распределении Бернулли рассказано в приложении В.
Поиск оптимального f с помощью среднего геометрического.
В реальной торговле размер проигрышей и выигрышей будут постоянно меняться. Поэтому формулы Келли не могут дать нам правильное оптимальное f. Как корректно с математической точки зрения найти оптимальное f, которое позволит нам определить количество контрактов для торговли? Попытаемся ответить на этот вопрос. Для начала мы должны изменить формулу для поиска HPR, включив в нее f:
где -Сделка= прибыль или убыток в этой сделке (с противоположным знаком, чтобы убыток стал положительным числом, а прибыль — отрицательным);
Наибольший проигрыш = наибольший убыток за сделку (это всегда отрицательное число).
TWR — это произведение всех HPR, а среднее геометрическое (G) — это корень N-й степени TWR.
где - Сделкаi = прибыль или убыток по сделке i (с противоположным знаком, чтобы убыток был положительным числом, а прибыль — отрицательным);
Наибольший проигрыш = результат сделки, которая дала наибольший убыток (это всегда должно быть отрицательное число);
N = общее количество сделок;
G = среднее геометрическое HPR.
Просмотрев значения/от 0,01 до 1, мы найдем/, которое даст наивысшее TWR. Это значение f позволит получить максимальную прибыль при торговле фиксированной долей. Мы можем также сказать, что оптимальное f позволяет получить наивысшее среднее геометрическое. Не имеет значения, что мы ищем: наивысшее TWR или среднее геометрическое, так как обе величины максимальны при одном и том же значении f.
Описанную выше процедуру достаточно легко осуществить с помощью компьютера, перебирая f от 0,01 до 1,00. Как только вы получите TWR, которое меньше предыдущего, то знайте, что f, относящееся к предыдущему TWR, является оптимальным f, поскольку графики TWR и среднего геометрического имеют один пик. Чтобы облегчить процесс поиска оптимального f диапазоне от 0 до 1, можно использовать разные алгоритмы. Один из самых быстрых способов расчета оптимального f — это метод параболической интерполяции, который детально описан в книге «Формулы управления портфелем».