Достоверно установлено, что Евклид жил и преподавал в Александрии около 300 г. до н.э. (сам Евклид скорее всего получил образование в Платоновской Академии в Афинах). Это почти единственная информация, которой мы располагаем о частной жизни Евклида. Свои труды Евклид облекал в форму обширных систематических дедуктивных обзоров отдельных открытий многих греческих авторов классического периода. В главном труде Евклида — «Началах» излагаются основные свойства пространства и пространственных фигур.
«Началами» Евклида отнюдь не исчерпывается его вклад в развитие геометрии пространства. Он посвятил коническим сечениям не дошедшее до нас сочинение, а уроженец города Перга в Малой Азии Аполлоний (262-190 гг. до н.э.), изучавший математику в Александрии, продолжил исследование параболы, эллипса и гиперболы и написал по этому предмету классический труд — «Конические сечения».
Архимед (287-212 гг. до н.э.), возможно получивший образование в Александрии{10}, но живший на Сицилии, добавил к чисто геометрическим достижениям греков трактаты: «О шаре и цилиндре», «О коноидах и сфероидах» и «Квадратура параболы», посвященных вычислению площадей и объемов сложных фигур и тел по методу, предложенному Евдоксом (390-337 гг. до н.э.) и получившему впоследствии название метод исчерпывания. В наши дни подобные задачи решаются методами интегрального исчисления.
Греки внесли еще один крупный вклад в изучение пространства и пространственных фигур: они создали тригонометрию. Ее основы были заложены Гиппархом, который жил на Родосе и в Александрии и умер около 125 г. до н.э. Его труд был продолжен Менелаем (ок. 98 г. н.э.), а полное и вполне авторитетное изложение астрономии дал египтянин Клавдий Птолемей (умер в 168 г. н.э.), работавший в Александрии. Главный труд Птолемея «Большое математическое построение астрономии» более известен под арабским вариантом названия — «Альмагест».{11} Тригонометрия занимается изучением количественных соотношений между сторонами и углами треугольника. Греков интересовали главным образом треугольники на поверхности сферы со сторонами, образованными дугами больших кругов (так называются круги, плоскость которых проходит через центр сферы), поскольку именно такие сферические треугольники находили применение при изучении движений планет и звезд, перемещавшихся, как считали греки, по дугам больших кругов. Но ту же теорию можно «перенести» и на случай треугольников на плоскости. Именно этот вариант — плоская тригонометрия — входит в программу современной средней школы. Введение тригонометрии потребовало весьма основательных познаний в арифметике и даже некоторого знакомства с алгеброй. В дальнейшем (гл. V) мы узнаем о достижениях греков в этих областях математики.
Достигнутые успехи превратили математику из свода неясных, эмпирических, разрозненных фрагментов в блестящую, обширную, систематическую и глубокую науку. Классические труды Евклида, Аполлония и Архимеда («Альмагест» Птолемея является исключением), посвященные изучению свойств пространства и пространственных фигур, могут показаться весьма специальными и не позволяют составить верное представление о более широкой значимости излагаемого в них материала. Может создаться впечатление, что эти чисто геометрические сочинения имеют весьма косвенное отношение к раскрытию истинных тайн природы. Ведь все классические труды посвящены лишь изложению формализованной, изысканной, дедуктивной математики. В этом отношении греческие математические тексты не отличаются от современных учебников и монографий по математике. Авторы таких книг видят свою главную задачу в организации и связном изложении полученных математических результатов и считают излишним как-либо обосновывать важность излагаемых разделов науки и игнорируют возможные эвристические соображения и разбор частных случаев, подкрепляющих правдоподобность доказываемых теорем, а также умалчивают о возможных применениях своих конструкций. Многие историки науки, специализирующиеся на изучении греческой математики классического периода, склонны поэтому считать, что математики той эпохи занимались математикой ради математики, и в подтверждение своих слов ссылаются на два величайших компилятивных сочинения классического периода — «Начала» Евклида и «Конические сечения» Аполлония. Но те, кто так утверждает, чрезмерно сужают поле зрения. Ограничиваться рассмотрением только «Начал» и «Конических сечений» — это то же самое, что, исходя из одной лишь работы Ньютона о разложении бинома, утверждать, что Ньютон был чистым математиком.
10
Во всяком случае, Архимед был тесно связан с александрийскими учеными, в частности, хорошо известна его дружба (и переписка) с Эратосфеном.
11
От греческого слова μεγιση —