Цель математических исследований блестящей плеяды ученых XVIII в. состояла в открытии новых законов природы, в более глубоком проникновении в ее основы. Достигнутые успехи были многочисленны и значительны. В астрономии особые усилия прилагались к тому, чтобы продолжить начатую Ньютоном работу по описанию и предсказанию движения небесных тел. Главный теоретический результат Ньютона (вывод эллиптичности орбиты планеты из закона всемирного тяготения), как хорошо сознавал он сам, был бы верен лишь в том случае, если бы вокруг Солнца обращалась только одна планета. Но во времена Ньютона и на протяжении большей части XVIII в. были известны шесть планет. Каждая из них притягивала остальные, а все планеты испытывали притяжение Солнца. Кроме того, у некоторых планет (Земли, Юпитера и Сатурна) были спутники. В результате под действием возмущений эллиптическая орбита искажалась. Какую форму имели истинные траектории планет? Над решением этой проблемы бились все выдающиеся математики XVIII в.
Суть проблемы сводилась к вопросу о взаимном притяжение трех тел. Если бы кому-нибудь удалось изобрести метод, позволяющий определять возмущающее действие третьего тела, то этим методом можно было бы воспользоваться и для определения возмущающего действия четвертого тела и так далее. Тем не менее точное решение общей задачи движения даже трех тел не удалось получить и поныне. Вместо того чтобы искать точное решение, математики стали создавать все более совершенные приближенные методы.
Успехи, достигнутые в XVIII в. даже с помощью приближенных методов, были поистине замечательными. Одним из наиболее драматических событий, подтвердивших точность математических расчетов в астрономии, явилось предсказанное Алекси Клодом Клеро (1713-1765) возвращение кометы, ныне известной под названием кометы Галлея. Эту комету наблюдали несколько астрономов, и в 1682 г. Галлей предпринял попытку определить ее орбиту. Он предсказал, что комета вернется в 1758 г. На заседании Парижской академии наук 14 ноября 1768 г. Клеро объявил, что комета Галлея пройдет ближайшую к Солнцу точку своей орбиты в середине апреля 1759 г. с возможной ошибкой в тридцать дней. Комета появилась на месяц раньше предсказанного срока. Ошибка в один месяц может показаться чудовищной. Не следует забывать, однако, что кометы обычно доступны наблюдениям лишь в течение нескольких дней, а комета Галлея не наблюдалась семьдесят семь лет.
Другими выдающимися успехами астрономия обязана трудам Лагранжа и Лапласа. В движениях Луны и планет наблюдались, некоторые нерегулярности. Они могли означать, что планета удаляется от Солнца на все большее расстояние. Лагранж и Лаплас доказали, что нерегулярности, наблюдаемые в скоростях Юпитера и Сатурна, имеют периодический характер, поэтому движения этих двух планет являются устойчивыми. Научные достижения XVIII в. воплощены в одном из шедевров науки — пятитомной «Небесной механике» Лапласа, печатавшейся в 1799-1825 гг.
Всю свою жизнь Лаплас посвятил астрономии, и, какой бы областью математики он ни занимался, его прежде всего интересовало применение полученных результатов к астрономии. Рассказывают, будто в своих рукописях Лаплас нередко опускал трудные этапы доказательств, заменяя их кратким замечанием: «Нетрудно видеть, что…» Одно не вызывает сомнения в этих рассказах: Лапласу действительно было не до детальной отделки доказательств, он торопился поскорее перейти к астрономическим приложениям. Многочисленные фундаментальные результаты, полученные Лапласом в математике, были не более чем побочными продуктами его титанической деятельности в области естествознания. Дальнейшим развитием их занимались другие.
Не менее драматична и широкоизвестная история открытия Нептуна. Хотя Нептун был открыт в 1846 г., в основе его открытия лежали достижения математики XVIII в. В 1781 г. Уильям Гершель с помощью нового мощного телескопа открыл планету Уран. Но движение Урана оказалось плохо предсказуемым. Алекси Бувар высказал предположение, что движение Урана возмущает какая-то неизвестная планета. Было предпринято много попыток обнаружить положение новой планеты и путем наблюдений, и путем теоретических расчетов ее размеров и орбиты. В 1841 г. двадцатидвухлетнему студенту Кембриджского университета Джону Каучу Адамсу (1819-1892) удалось довольно точно рассчитать массу, размеры и орбиту предполагаемой планеты. О результатах своих вычислений Адамс сообщил знаменитому Джорджу Эйри, занимавшему тогда пост директора Королевской астрономической обсерватории в Гринвиче, но тот не придал расчетам студента особого значения. Одновременно с Адамсом примерно такие же расчеты независимо выполнил еще один молодой астроном — француз Урбен Жан Жозеф Леверье (1811-1877). О том, где следует искать новую планету, он сообщил немецкому астроному Иоганну Галле. Письмо от Леверье Галле получил 23 сентября 1846 г. и в тот же вечер обнаружил Нептун всего в 52 дуговых секундах от места, указанного Леверье. Как можно было сомневаться в правильности астрономической теории, позволяющей делать столь поразительные предсказания? (Точность предсказаний составляла одну десятитысячную процента!)