750 
30 (mod 360)
Мы говорим: «750 сравнимо с 30 по модулю 360». В случае с часами мы бы написали
14 2 (mod 12).
Мы также можем представить себе часы с отрицательными числами. В этом случае который будет час, когда стрелка показывает на —7? Или, другими словами, с каким числом сравнимо число —7 по модулю 12? Давайте посчитаем, учитывая, что на наших часах с циферблатом, разделенным на 12 частей, значение 0 соответствует 12.
— 7 = —7 + 0 = —7 + 12 = 5.
* * *
ОТЕЦ АНАЛИТИЧЕСКОЙ КРИПТОГРАФИИ
Основная работа Евклида Александрийского, «Начала», состоит из 13 томов, в которых излагаются основные факты планиметрии, теории пропорций, свойства чисел, сведения об иррациональных числах и стереометрии. Чаще всего ассоциируемые с этой последней теорией, работы греческого математика, связанные с арифметическими операциями на конечных числовых множествах, или операциями по модулю, являются одним из столпов современной теории криптографии. Известные и почитаемые еще арабскими учеными, работы Евклида впервые были изданы в Венеции в 1482 г. Вовсе не случайно, что и арабы, и венецианцы были великими мастерами криптографии.
* * *
ОПЕРАЦИИ ПО МОДУЛЮ
Как посчитать 231 по модулю 17 на калькуляторе?
Сначала мы разделим 231 на 17 и получим 13,58823529.
Затем найдем произведение 13 x 17 = 221. Таким образом мы избавимся от дробной части.
Наконец, найдем разность 231–221 = 10, получив остаток отделения.
Итак, 231 по модулю 17 равно 10. Этот результат записывается как 231 10 (mod 17).
* * *
Математика для расчетов на наших часах со стрелками, циферблат которых разделен на 12 частей, называется арифметикой по модулю 12. В общем случае мы говорим, что a b (mod m), если остаток от деления а на m равен b, при условии что а, b и m — целые числа. Число b сравнимо с остатком от деления а на m. Следующие утверждения эквивалентны:
a b (mod m)
b a (mod m)
а — b 0 (mod m)
а — b кратно m
Вопрос «Которому часу на часах со стрелками соответствует время 19 часов?» эквивалентен в математических терминах следующему вопросу: «С каким числом сравнимо число 19 по модулю 12?» Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны решить уравнение
19 х (mod 12).
Разделив 19 на 12, мы получим частное 1 и остаток 7, поэтому
19 7 (mod 12).
А в случае 127 часов? Разделив 127 на 12, мы получим частное 10 и остаток 7, поэтому
127 7 (mod 12).
Чтобы повторить изученное до сих пор, давайте рассмотрим следующие операции по модулю 7:
(1) 3 + 3 6
(2) 3 + 14 3
(3) 3 х 3 = 9 2
(4) 5 x 4 = 20 6
(5) 7 0
(6) 35 0
(7) -44 = -44 + 0 = -44 + 7 х 7 5
(8) -33 = -33 + 0 = -33 + 5 x 7 2
(1) 6 меньше, чем модуль, поэтому не меняется
(2) 3 + 14 = 17; 17: 7 = 2 и в остатке 3.
(3) 3 X 3 = 9; 9: 7 = 1 и в остатке 2.
(4) 5 х 4 = 20; 20: 7 = 2 и в остатке 6.
(5) 7 = 7; 7: 7 = 1 и в остатке 0.
(6) 35 = 35; 35: 7 = 5 и в остатке 0.
(7) -44 = -44 + 0; 44 + 7 х 7 5.
(8) -33 = -33 + 0; -33 + 5 x 7 2.
* * *
ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ ПО МОДУЛЮ 5 В EXCEL
Построить такую и подобные таблицы очень легко даже с базовыми знаниями офисной программы Excel. В нашем случае синтаксис функций для ячеек Excel (для столбцов и строк на нашем компьютере) показан ниже. Действие «остаток отделения числа на 5» переводится на язык Excel как «=ОСТАТ(число;5)». Конкретная операция по нахождению произведения 4 на 3 по модулю 5 записывается как «=ОСТАТ (4∙3;5)» и дает результат 2. Подобные таблицы очень помогают в расчетах по модульной арифметике.
