33. Когда калькуляторов еще не было
Знаменитый французский математик, «князь дилетантов» Пьер Ферма (1601–1665) однажды получил письмо, в котором его спрашивали, является ли число 100895598169 простым. Ферма мгновенно ответил, что это двенадцатизначное число — произведение двух простых чисел 898423 и 112303.
34. Логарифмы и магия
Изобретатель логарифмов Джон Непер (1550–1617) имел репутацию чернокнижника и колдуна, чем он однажды остроумно воспользовался.
Как-то раз в его доме случилась кража. Виновником мог быть только кто-то из слуг, но кто именно, непонятно. И тогда Непер придумал хитрый ход. Собрав всех своих слуг, он объявил им, что его черный петух умеет читать тайные мысли людей и поэтому поможет ему найти вора. После этого Непер приказал слугам поодиночке заходить в темную комнату и касаться рукой сидящего там черного петуха. Как только вор коснется петуха-телепата, добавил он, тот громко закричит.
Слуги по очереди стали заходить «на прием» к петуху, но тот так и не закричал. Однако Непер легко вычислил вора, проверив руки испытуемых после петушиного «теста». Руки невиновных были испачканы золой, которой хитроумный хозяин предварительно обсыпал петуха. Злоумышленник же испугался ясновидящей птицы и, войдя к нему в комнату, не коснулся его. Поэтому его руки, в отличие от совести, были чистыми.
35. Разные решения
Однажды один студент попросил Джона фон Неймана (1903–1957) помочь ему вычислить какой-то интеграл. Немного подумав, тот дал ответ: «2π/5».
— Но, сэр, — расстроился студент, — ответ я могу и сам посмотреть в конце задачника. Мне непонятно, как взять этот интеграл!
— Хорошо, — ответил профессор, — дайте-ка я посмотрю еще разок. — После небольшой паузы он опять выдал: 2π/5.
— Профессор, — студент был близок к отчаянию, — ответ я и сам знаю. Я не понимаю, как он получается!
— Но, молодой человек, — искренне удивился фон Нейман. — Что Вы от меня хотите? Я решил вам эту задачу двумя разными способами!
36. Кратчайшим способом
Есть хорошо известная задача — о мухе и двух встречных поездах. Два поезда, между которыми 200 км, мчатся со скоростью 50 км/ч навстречу друг другу по одной колее. В начальный момент времени с ветрового стекла одного из локомотивов взлетает муха и со скоростью 75 км/ч летит навстречу другому. Долетев до него, она поворачивает и летит обратно, затем опять летит ко второму локомотиву и так далее. Спрашивается, какое расстояние в итоге пролетит муха до того момента, когда оба поезда, столкнувшись, раздавят ее в лепешку?
Эту задачу можно решать двумя способами: трудным, «в лоб», и легким. В первом случае, учитывая, что с каждым из поездов муха до своей нелепой гибели успеет встретиться бесконечно много раз, придется найти сумму бесконечного ряда расстояний, преодоленных мухой от одного поворота до другого. Это реально, но для получения ответа не обойтись без вычислений на бумаге и некоторого количества времени.
Легкое же решение можно проделать в уме: поезда находятся на расстоянии 200 км и сближаются с суммарной скоростью 100 км/ч. Значит, они столкнутся через 2 часа. Все это время муха находится в полете, летя со скоростью 75 км/ч. Поэтому она пролетит в итоге 150 км.
Когда знаменитому математику Джону фон Нейману приятель предложил эту задачу, то он, задумался лишь на мгновенье.
— Ну, конечно же, 150 км! — сказал он.
— Но как вам удалось так быстро получить ответ? — спросил приятель?
— Я просуммировал ряд, — ответил фон Нейман.
37. Трамвайное счастье
Есть одна популярная задача — о подсчете вероятности «счастливого» трамвайного билета. При этом «счастливым по-московски» (соотв. «по-ленинградски») считается билет (с шестизначным номером), у которого сумма первых трех цифр равна сумме трех последних (соотв. если сумма цифр на четных местах равна сумме цифр на нечетных местах). Можно посчитать, что среди миллиона шестизначных билетов «счастливых» — 55252 [4], то есть 5,5%. Таким образом, в среднем каждый восемнадцатый билет — счастливый (это, наверное, соответствует нашему интуитивному представлению о доле счастливых людей в общей их массе).
По всеобщему поверью для того, чтобы «счастливый» билет и в самом деле принес удачу, его надо съесть. С этой приметой связан один забавный случай, описанный, если мне не изменяет память, в книге проф. Я. И. Хургина «Ну и что?». Будучи студентом мехмата МГУ, он ехал как-то утром на экзамен в трамвае. Получив билет, он машинально проверил суммы левой и правой троек цифр в его номере. И, о радость, билет оказался счастливым! Следуя примете, он тут же его съел и — надо же так случиться! — через минуту попался контролеру. Денег у бедного студента не оказалось, и его отвели в милицию. В итоге бедолага пропустил экзамен, потеряв стипендию. Как же так, думал он впоследствии, верная примета и вдруг такая осечка. И тут он вспомнил, что злосчастный билет был не совсем «счастливым». Да, суммы слева и справа были равны, но чему — тринадцати! Так популярное студенческое суеверье было реабилитировано [5].