Рассмотрим вкратце, в чем здесь дело, и будем для простоты рассматривать снова не четырехмерную совокупность точек, с которой приходится иметь дело в теории Эйнштейна, а двухмерную, которую возможно изобразить на листе бумаги. Проведем снова две взаимно перпендикулярные оси координат и рассмотрим две точки 1 и 2 на этой диаграмме (рис. 2). Расстояние между точками 1 и 2 можно вычислить с помощью теоремы Пифагора, если даны так называемые «проекции отрезка 1 2 на координатные оси», т. е. катеты прямоугольного треугольника 12 3, проведенные параллельно координатным осям. Квадрат длины отрезка 1 2 равен сумме квадратов его проекций 1 3 и 2 3. Теорема Пифагора даст возможность вычислять длину также и любой кривой линии, проведенной на диаграмме. Для этого нужно разбить кривую линию на ряд таких мелких частей, что каждая из этих частей может приближенно рассматриваться как отрезок прямой линии (бесконечно малая дуга может быть заменена своей хордой). Вычислив длину каждого бесконечно малого отрезка прямой линии, равную квадратному корню из суммы квадратов проекций этого отрезка, мы можем сложить полученные результаты и найти таким образом длину всей кривой линии. Такое вычисление длины кривой, опирающееся на теорему Пифагора, является необходимым следствием геометрии Евклида.
Неевклидова геометрия, начало созданию которой положили сто лет тому назад Лобачевский, Гаусс и Болиаи и которая была приведена в более совершенную форму гениальным немецким математиком Берн-хардом Риманом, представляет непосредственно обобщение геометрии Евклида. Вместо того чтобы вычислять квадратный корень из суммы квадратов проекций бесконечно малого отрезка, как это делается в геометрии Евклида, неевклидова геометрия вычисляет квадратный корень из более сложного выражения, являющегося суммой не только квадратов бесконечно малых проекций, но и произведения этих проекций, причем в этой сумме каждый квадрат и произведение предварительно умножается на некоторый коэффициент. Таким образом, евклидова геометрия является тем частным случаем неевклидовой геометрии, который получится, если коэффициенты при квадратах проекций равны единице, а коэффициенты при произведении равны нулю. В неевклидовой же геометрии эти коэффициенты могут принимать различные значения в разных точках пространства. Легко видеть, что если даны значения этих коэффициентов во всех точках пространства (или, как сказал бы физик, задано «поле» этих коэффициентов), то возможно вычислить длину любой кривой линии, проведенной в этом неевклидовом пространстве. Все другие геометрические величины (углы, площади, объемы и т. д.) также возможно вычислить с помощью тех же коэффициентов, которые, таким образом, приобретают первостепенное значение для геометрических свойств неевклидова пространства. Ими, как говорят, определяется «метрика» пространства, т. е. результаты всех производимых в нем измерений. Коэффициенты эти получили довольно громоздкое название «компонентов метрического фундаментального тензора». Понятно, что вся суть заключается именно в этих компонентах. Если между двумя точками проведены две кривые линии, то, например, вопрос о том, которая из них короче, может быть решен только в том случае, если заданы значения компонентов метрического фундаментального тензора в каждой точке. Линия, которая не оказалась бы кратчайшим расстоянием между двумя точками в пространстве евклидовом, где все компоненты метрического фундаментального тензора равны или нулю или единице, может оказаться кратчайшей линией, если задано какое-нибудь другое распределение этих компонентов в пространстве, соответствующее неевклидовой геометрии.
Идея Эйнштейна, примененная им к изучению полей тяготения, заключалась в том, что четырехмерная пространственно-временная совокупность точек-событий не должна обязательно являться евклидовой, а может быть и неевклидовой. Если в какой-нибудь области пространства отсутствует поле тяготения, то согласно Эйнштейну геометрия четырехмерной пространственно-временной совокупности может считаться евклидовой. В этом случае материальная точка, на которую не действуют электромагнитные силы (т. е. не действуют никакие силы вообще, так как, кроме сил тяготения, все известные в физике силы сведены к электромагнитным), то рассматриваемая точка будет двигаться согласно закону инерции равномерно и прямолинейно.