4. Гномоническая проекция сохраняет геодезические линии, но не сохраняет расстояния, площади и величины углов.
5. Искажение площадей, форм и углов, наименьшее в точке касания (в центре карты), будет увеличиваться по мере удаления от этой точки.
Доказать геометрическими методами, что гномоническая проекция сохраняет геодезические линии, очень просто. Геодезические линии сферы, большие круги, получаются сечением сферы плоскостью, проходящей через центр сферы. Следовательно, изображением большого круга в центральной проекции будет прямая, вдоль которой пересекаются плоскость, определяющая большой круг, и касательная плоскость, как показано на рисунке. Это доказывает, что гномоническая проекция преобразует геодезические линии сферы (ее большие круги) в геодезические линии плоскости (прямые).
Гномоническая проекция сохраняет геодезические линии и преобразует большие круги сферы в прямые на плоскости.
Кроме того, можно доказать, что это по сути единственная картографическая проекция, обладающая подобным свойством. Если говорить о сохранении площадей или углов, то этим свойством обладает множество проекций.
Чтобы определить, сохраняет ли гномоническая проекция площади и (или) углы, вычислим искажения, возникающие при ее использовании на меридианах и параллелях. Для этого построим индикатрису Тиссо для произвольной точки сферы, то есть рассмотрим окружность достаточно малого размера (в действительности она будет бесконечно малой, поэтому можно считать, что окружность располагается на плоскости, касающейся сферы в этой точке) и рассчитаем размеры эллипса, в который преобразуется эта окружность в гномонической проекции.
Представим Землю как сферу единичного радиуса. Рассмотрим плоскость проекции Т, которая касается сферы (допустим, точка касания расположена в Северном полушарии). На эту плоскость мы спроецируем часть полусферы, при этом центр проекции будет совпадать с центром сферы. Пусть А — точка сферы с широтой φ, D — диск достаточно малого радиуса r, который касается сферы в точке А.
Построим проекцию этого диска на плоскость проекции Т в два этапа. На первом этапе диск D преобразуется в диск D', который лежит в плоскости, параллельной D. Центром этого диска является точка А' — отображение точки А, полученное с помощью гномонической проекции. В силу подобия треугольников (по теореме Фалеса), как вы можете видеть на следующем рисунке, радиус r' диска D' удовлетворяет соотношению
По правилам элементарной тригонометрии
sinφ = 1/|OA'|
Имеем:
Первый этап построения гномонической проекции.
Искомым отображением будет проекция диска D' на касательную плоскость Т — уже не диск, а эллипс. В направлении «запад — восток» диск D' пересекает плоскость Т, следовательно, проекция не изменит его размеров, и длина соответствующей полуоси эллипса будет равна уже вычисленному радиусу:
r' = r/sinφ
Итак, искажение вдоль параллели будет равно:
λ = 1/sinφ
Посмотрим, как изменится диск в направлении «север — юг», и рассчитаем искажение вдоль меридиана. Так как радиус r' очень мал по сравнению с расстоянием между А' и центром проекции О, угол А'ВС (см. след, рисунок) будет очень близок к прямому углу. Так как r достаточно мал, этот угол можно считать прямым. Как следствие, проекцией отрезка длиной r', лежащего в направлении «север — юг», будет отрезок на плоскости Т длиной r":
r" = r'/sinφ = r/sin2φ
согласно правилам элементарной тригонометрии. Искажение вдоль меридиана будет равно:
Второй этап построения гномонической проекции.
Как следствие, отображением D" окружности D радиуса r в центральной проекции будет эллипс, а длины его полуосей равны:
r' = r/sinφ и r" = r/sin2φ
Можно сделать вывод: центральная проекция не сохраняет площади, поскольку, как мы уже отмечали, искажение вдоль меридианов
μ = 1/sin2φ