Локсодрома на земном шаре и на карте, выполненной в стереографической проекции, центр которой совпадает с Северным полюсом.
Далее мы аналогично центральной проекции рассчитаем искажения, возникающие при использовании стереографической проекции. Рассмотрим диск D достаточно малого (бесконечно малого) радиуса r, касающийся сферы в точке А широтой φ.
Примем радиус сферы равным 1, так как речь идет о сферической модели Земли. Посмотрим, как построенный нами диск изменится в стереографической проекции, и определим, какие искажения она вносит.
* * *
СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
Все мы знаем, что сумма углов произвольного треугольника равна 180° (или π радиан) — половине полного оборота вокруг оси. Этот классический результат евклидовой геометрии упоминается уже в «Началах» (предложение 32 книги I), созданных греческим математиком Евклидом Александрийским (ок. 325 года до н. э. — ок. 265 года до н. э). Доказательство этого утверждения отличается простотой и изяществом. В данном треугольнике АВС через вершину С проводится линия, параллельная АВ, как показано на рисунке. Так как эта прямая параллельна АВ, обе они образуют равные углы с прямой АС (угол α). По этой же причине они образуют равные углы с прямой ВС (угол β). Так как прямые АС и ВС пересекаются, угол γ и противолежащий ему равны как вертикальные. Сумма трех углов при вершине С равна сумме углов треугольника α, β и γ, то есть развернутому углу — 180°.
* * *
Перед построением стереографической проекции диска на следующем рисунке обозначим через ψ угол ONA, равный углу OAN, и, поскольку сумма углов треугольника равна π, имеем:
С другой стороны, расстояние между N и А равно |NA| = 2 cosψ по тригонометрической теореме косинусов (для данного треугольника со сторонами а, b и с и углом α, противолежащим стороне а, выполняется равенство а2 = Ь2 + с2 — 2Ьс·cosα). По определению косинуса имеем, что расстояние между N и А' — стереографической проекцией точки А — равно:
Чтобы лучше понять, как изменяется диск в стереографической проекции, проведем построение в два этапа. На первом этапе диск преобразуется в диск D', лежащий в плоскости, параллельной D. Центром диска будет точка А' — стереографическая проекция точки А (см. следующий рисунок). В силу подобия треугольников (по теореме Фалеса) имеем:
Первый этап построения стереографической проекции.
Второй этап заключается в построении проекции диска D' радиуса r' на плоскость проекции Т. В направлении «запад — восток» диск D' и плоскость Т пересекаются, следовательно, проекция отрезка будет иметь ту же длину, что и сам отрезок. Это означает, что искажение вдоль параллелей равно
так как мы вычислили искажение бесконечно малого отрезка длины r, расположенного вдоль параллели.
Рассмотрим, что произойдет с отрезками, расположенными в направлении «север — юг», и рассчитаем при этом искажение вдоль меридианов (см. следующий рисунок). Сначала заметим, что угол SA'N равен (π/2) — ψ. Если мы будем считать, что |NA'| очень велико по сравнению с r' (изначально мы приняли размеры диска D бесконечно малыми), то можно предположить, что проекционные лучи параллельны. Следовательно, проекцией отрезка А'В' будет отрезок А'С, а отрезок В'С параллелен NA'. Угол А'СВ', равно как и угол А'В'С, равен — (π/2) — ψ. Следовательно, треугольник В'А'С равнобедренный. Как следствие, |А'С| = |А'В'| = r'. Таким образом, искажение вдоль меридианов и параллелей будет одинаковым. Более того, оно будет одинаковым во всех направлениях, а значит, стереографической проекцией D будет диск радиуса: