где θ — долгота (θ0 — долгота центрального меридиана карты), φ — широта, а для сферической модели Земли R = 1.
Современная карта, выполненная в проекции Меркатора.
Именно это и сделал Меркатор при создании карты «Новое и улучшенное описание мира с исправлениями для использования в навигации» (Nova et aucta or bis terrae descriptio ad usum navigatum emendate accommodata) 1569 года: он построил сетку перпендикулярных друг другу меридианов и параллелей, а затем раздвинул параллели, чтобы компенсировать искажения вдоль меридианов. В результате искажения вдоль меридианов и параллелей на карте Меркатора оказались одинаковыми.
* * *
ПОРТУЛАНЫ
Карты мира, созданные в позднем Средневековье, были совершенно бесполезны для навигаторов. Мореплаватели полагались на собственные заметки, где описывались морские пути между портами, проложенные по результатам измерений, астрономических наблюдений и рекогносцировки побережий. После изобретения в XII веке компаса эти заметки стали более точными, начали появляться штурманские книги, в которых приводилась подробная информация о расстояниях и румбах. В какой-то момент на основе этих заметок начали создаваться карты побережий с информацией для мореплавателей — так называемые портуланы, которые стали первыми навигационными картами. На портуланах подробно описывались побережья и самым тщательным образом изображались порты, элементы рельефа и все, что представляло опасность для мореплавателей. Географические названия записывались перпендикулярно линии побережья, внутренние территории, как правило, оставались пустыми. На портуланах также изображались компасы и розы ветров, в которых сходились многочисленные линии румбов, внешне напоминавшие паутину, а также указывался масштаб карты. Мореплаватель с помощью линейки проводил прямую, соединявшую порт отплытия и порт назначения, после чего посредством параллельного переноса построенной прямой до ближайшей розы ветров определял румб, которым нужно было следовать. Хотя эти карты, в особенности карты средиземноморского побережья, были достаточно точными, картографическая информация в них была, очевидно, приближенной. На портуланах не учитывалась кривизна Земли, а при их построении не применялась какая-либо картографическая проекция.
Карта Европы и Средиземного моря из «Каталанского атласа» 1375 года. На иллюстрации представлена копия, выполненная в XIX веке.
* * *
Оригинальная карта Меркатора 1569 года.
В статье Джерома Сакса «Любопытная смесь карт, дат и имен» (A Curious Mixture of Maps, Dates, and Names, 1987) отмечается, что хотя в математическом уравнении проекции Меркатора используется логарифм, Джон Непер опубликовал свой труд о логарифмах лишь в начале XVII века. Кроме того, чтобы вывести уравнения проекции Меркатора, требовалось использовать методы математического анализа и дифференциальной геометрии, однако Ньютон и Лейбниц родились спустя 50 лет после смерти Меркатора, а Гаусс создал дифференциальную геометрию лишь в начале XIX века. Как же Меркатор составил свою карту в 1569 году? Видимо, не располагая методами, которые появились в математике позднее, он обладал обширными знаниями в области картографии и, как следствие, развитой интуицией.
Методы Меркатора были чисто практическими и основывались на огромных таблицах с данными. При этом он не оставил никаких технических описаний процесса построения карты и соответствующих навигационных таблиц и тем более не создал практического руководства по использованию его карты для навигации. Возможно, по этой причине, а также потому, что мореплаватели считали Меркатора представителем чуждого им мира ученых, эта карта обрела широкую популярность лишь 300 лет спустя. До этого карта Меркатора использовалась считанное число раз: так, друг Меркатора, картограф Абрахам Ортелий, включил в свой атлас «Зрелище шара земного» (Teatrum orbius terrarum, 1570) восемь карт, выполненных в проекции Меркатора.