Учитель должен владеть объемом и содержанием понятий, об отношениях между ними и об операциях с ними.
II. Объем и содержание понятия
Всякий математический объект обладает определенными свойствами, среди которых выделяют существенные и несущественные.
Свойства называются существенными, если без них объект существовать не может, т.е. они ему присущи.
Ярко это можно продемонстрировать на геометрических понятиях. Любой прямоугольник имеет четыре стороны, четыре угла, равные диагонали. Но без третьего свойства он существовать не может: все четыре угла – прямые. А квадрат имеет четыре прямых угла, равные диагонали, четыре стороны. Существенное свойство – все стороны равны.
Следовательно, когда говорят о математическом понятии, то подразумевают множество объектов, называемых одним словом или группой слов (термином). Если говорят о прямоугольниках, то это все те фигуры, у которых все четыре угла прямые, а квадраты – это прямоугольники, у которых все стороны равны.
Считается, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».
Объем понятия – это множество всех объектов, которые обобщаются в понятии и обозначаются одним термином.
Любое понятие имеет содержание.
Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.
Объем понятия прямоугольник – это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольника:
– «иметь четыре стороны»,
– «иметь четыре прямых угла»,
– «иметь равные противоположные стороны»,
– «иметь равные диагонали».
III. Отношения между понятиями
Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот, с уменьшением объема понятия – увеличивается его содержание.
Например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании, понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны», «диагонали равны» и другие).
Любое понятие нельзя усвоить, не осознавая его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться эти понятия, и уметь устанавливать эти связи.
Понятия обозначают строчными буквами латинского алфавита: а, b, c, d, …, z. Поэтому, если заданы два понятия а и b, то объемы этих понятий обозначают соответственно А и В.
Они могут находится в различных отношениях.
Если А c В (А ≠ В), то говорят, что понятие а – видовое по отношению к понятию b, а понятие b – родовое по отношению к понятию а.
Например: если а – это «прямоугольник», b – это «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения (А c В и А ≠ В ), т.к. каждый прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» – видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» – родовое по отношению к понятию «прямоугольник».
Если А = В, то говорят, что понятия а и b тождественны.
1) Понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одним понятиям и видовым по отношению к другим. Например: понятие «прямоугольник» – родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовым по отношению к понятию «четырехугольник».
2) Для понятия прямоугольник существует несколько родовых понятий – «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее – параллелограмм».
3) Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Квадрат являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.
Отношения между понятиями, изображая объемы, можно показать с помощью кругов Эйлера.
Например:
а) а – «прямоугольник», b – «ромб»: объемы пересекаются, но ни одно множество не является подмножеством другого, следовательно понятия «прямоугольник» и «ромб» не находятся в отношении рода и вида.